ในวิชาแคลคูลัส กฎลูกโซ่ (อังกฤษ: Chain rule) คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต
เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร y เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร u ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร x แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ u คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ u เทียบกับ x
สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6 °F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6 °F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3 °F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่
ในทางพีชคณิต กฎลูกโซ่ (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และฟังก์ชัน g หาอนุพันธ์ได้ที่ x คือเราจะได้
ดังนั้น
![{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045087ebee1c0c0b40c4a304a4ac9f4e1f7e78ac)
นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:
![{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01c5da45fbbe5846059bac054d3784e1d6611c4)
เมื่อ
ระบุว่า f เปลี่ยนแปลงตาม g เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง.
ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า
The general power rule[แก้]
กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้
Example I[แก้]
พิจารณา
.
เทียบได้กับ
โดยที่
และ
ดังนั้น
-
|
|
|
|
Example II[แก้]
ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
![{\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3a194e36c0f0bb67c09ad76e48b9a8ec0ff8c8)
เราสามารถเขียน
ด้วย
และ
จากกฎลูกโซ่ จะได้
![{\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7319610dfc7e8bcd13b94ef4ba5d6a390cc839)
เนื่องจาก
และ
กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร[แก้]
กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน
โดยที่
และ ![{\displaystyle v(x,y)=\sin(xy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c595dcf117cb5e31f9364a844a58a119f3afba5)
ดังนั้น
![{\displaystyle {\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial f \over \partial v}{\partial v \over \partial x}=3+\cos(xy)y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e874f2f4f4b01700b03d38105d0764290aada5c)
บทพิสูจน์กฎลูกโซ่[แก้]
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และให้ x เป็นจำนวนที่ f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้
ซึ่ง
ขณะที่ ![{\displaystyle \delta \to 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74dfffaec7fd83eac26d69d2adc636f35841653)
ในทำนองเดียวกัน
ซึ่ง
ขณะที่ ![{\displaystyle \alpha \to 0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a1cae5cae58239241855c7407363eb190f2cac2)
จะได้
|
|
|
|
ซึ่ง
จะเห็นว่าขณะที่
นั้น
และ
ดังนั้น
ขณะที่ ![{\displaystyle \delta \to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2223650a165253bc7a1dcf49c7d41d42e2543350)
กฎลูกโซ่พื้นฐาน[แก้]
กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า E F และ G เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ f : E → F และ g : F → G เป็นฟังก์ชัน และถ้า x เป็นสมาชิกของ E ซึ่ง f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต g o f ที่ x จะเป็นดังนี้
![{\displaystyle {\mbox{D}}_{x}\left(g\circ f\right)={\mbox{D}}_{f\left(x\right)}\left(g\right)\circ {\mbox{D}}_{x}\left(f\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc685abd44c433a2ea54d267ac47b8a6181e7049)
สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์
การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ M N และ P เป็นแมนิโฟลด์ Ck (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้
- f : M → N และ g : N → P
เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ f แทนด้วย df จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ M ไปยังปมสัมผัสของ N และสามารถเขียนแทนด้วย
![{\displaystyle {\mbox{d}}\left(g\circ f\right)={\mbox{d}}g\circ {\mbox{d}}f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9226b3ec3b99a8124fbff31c3989ae3807413e89)
ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ C∞ โดยมีการแปลง C∞ เป็นสัณฐาน
เทนเซอร์กับกฎลูกโซ่[แก้]
ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์