กฎการหาอนุพันธ์

บทความนี้เป็นการสรุปสูตรและกฎการหาอนุพันธ์ หรือกฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันในแคลคูลัส

กฎการหาอนุพันธ์เบื้องต้น

ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริง (R) ที่สให้ค่าจริง เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้ว สูตรด้านล่างนี้จะใช้ได้ทุกเมื่อที่มีการนิยามไว้อย่างรัดกุม รวมถึงกรณีของจำนวนเชิงซ้อน (C) ด้วย

กฎพจน์ค่าคงที่

สำหรับฟังก์ชั่น $f$ และ $g$ และจำนวนจริง $a$ และ $b$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $h(x)=af(x)+bg(x)$ ในส่วน $x$ คือ$h'(x)=af'(x)+bg'(x)$

การพิสูจน์

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {(c)-(c)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}0\\&=0\end{aligned}}$

บทพิสูจน์แสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชันคงที่ใดๆ เป็น 0

คำอธิบายททางเรขาคณิต

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด ๆ หนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดนั้น ความชันของฟังก์ชันคงที่เป็นศูนย์ เนื่องจากเส้นสัมผัสของฟังก์ชันคงที่เป็นแนวนอนและมุมเป็นศูนย์

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือค่าของฟังก์ชันคงที่ y จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าของ x เพิ่มขึ้นหรือลดลง

ในแต่ละจุดอนุพันธ์คือความชันของเส้นตรงที่สัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดนั้น หมายเหตุ อนุพันธ์ที่จุด A เป็นค่าบวก โดยแสดงเป็นเส้นสีเขียวประ–ค่าลบเป็นเส้นสีแดงประ และ เป็นศูนย์ เมื่อเป็นเส้นสีดำทึบ

การหาอนุพันธ์เป็นเชิงเส้น

บทความหลัก: ความเป็นเชิงเส้นของอนุพันธ์

สำหรับฟังก์ชัน$f$ และ $g$ และจำนวนจริง $a$ และ $b$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $h(x)=af(x)+bg(x)$ ที่ส่วน $x$ คือ $h'(x)=af'(x)+bg'(x)$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

$${\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}$$

กรณีพิเศษต่าง ๆ ได้แก่

• กฎตัวประกอบค่าคงที่ $$(af)'=af'$$
• กฎผลรวม $$(f+g)'=f'+g'$$
• กฎผลต่าง $$(f-g)'=f'-g'.$$

กฎผลคูณ

บทความหลัก: กฎผลคูณ

สำหรับฟังก์ชั่น $f$ และ $g$ ใด ๆ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $h(x)=f(x)g(x)$ ในส่วน $x$ คือ

$$h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

$${\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}$$

  ไปที่แนวคิดของการจับคู่ และอนุพันธ์ที่เป็นการจับคู่ ${\text{D}}$ ซึ่งเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นได้ดังนี้

$$[{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}\,$$

กฎลูกโซ่

บทความหลัก: กฎลูกโซ่

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $h(x)=f(g(x))$ คือ$$h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).$$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป $${\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x)$$

มักจะย่อเป็น $${\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}$$

สำหรับค่า $c$ ใดๆ เมื่อ $c\in \mathbb {R}$, ถ้า $f(x)$ คือฟังก์ชันคงที่ โดยที่ $f(x)=c$ แล้ว ${\frac {df}{dx}}=0$

กฎฟังก์ชันผกผัน

บทความหลัก: กฎฟังก์ชันผกผัน

ถ้าฟังก์ชัน f มีฟังก์ชันผกผัน g ซึ่งหมายความว่า $g(f(x))=x$ และ $f(g(y))=y$ แล้ว $$g'={\frac {1}{f'\circ g}}$$

เมื่อ $r=1$ จะเป็นกรณีพิเศษถ้า $f(x)=x$ แล้ว $f'(x)=1$

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป $${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}$$

กฎยกกำลัง พหุนาม ผลหาร และส่วนกลับ

กฎพหุนามหรือกฎยกกำลังเบื้องต้น

บทความหลัก: กฎยกกำลัง

ถ้า $f(x)=x^{r}$ สำหรับจำนวนจริงใดๆ $r\neq 0$ แล้ว

$f'(x)=rx^{r-1}$

การรวมกฎยกกำลังเข้ากับกฎผลรวมและกฎการคูณด้วยค่าคงที่ ทำให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ของพหุนามใด ๆ ได้

กฎส่วนกลับ

บทความหลัก: กฎส่วนกลับ

อนุพันธ์ของ $h(x)={\frac {1}{f(x)}}$ สำหรับฟังก์ชัน f (ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใด) ใด ๆ คือ

$h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}}$ โดยที่ f ไม่เป็นศูนย์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซเขียนในรูป

${\frac {d(1/f)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}$

กฎส่วนกลับสามารถได้มาจากกฎผลหาร หรือจากการรวมกันของกฎยกกำลังและกฎลูกโซ่

กฎผลหาร

บทความหลัก: กฎผลหาร

ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชัน แล้ว

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad$ โดยที่ g ไม่เป็นศูนย์

ซึ่งสามารถได้มาจากกฎผลคูณและกฎส่วนกลับ

กฎยกกำลังวางนัยทั่วไป

บทความหลัก: กฎยกกำลัง

$(f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right)\quad$

ที่ซึ่งเมื่อทั้งสองฝั่งได้นิยามไว้อย่างรัดกุม

กรณีพิเศษ

• ถ้า ${\textstyle f(x)=x^{a}\!}$ แล้ว ${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$ เมื่อ a เป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ และ x เป็นบวก
• กฎส่วนกลับเป็นกรณีพิเศษโดยที่ ${\textstyle g(x)=-1\!}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึม

${\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0$

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่อนุพันธ์เมื่อ ${\textstyle c<0}$ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

${\frac {d}{dx}}\left(e^{ax}\right)=ae^{ax}$

${\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>1$

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับทุก c แต่ให้ผลเป็นจำนวนเชิงซ้อนหาก ${\textstyle c<0\!}$ -

${\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0$

${\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x},\qquad x\neq 0$

${\frac {d}{dx}}\left(W(x)\right)={1 \over {x+e^{W(x)}}},\qquad x>-{1 \over e}.\qquad$ เมื่อ $W(x)$ คือฟังก์ชันดับเบิลยูลัมแบร์ท

${\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).$

${\frac {d}{dx}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=g(x)f(x)^{g(x)-1}{\frac {df}{dx}}+f(x)^{g(x)}\ln {(f(x))}{\frac {dg}{dx}},\qquad {\text{if }}f(x)>0,{\text{ and if }}{\frac {df}{dx}}{\text{ and }}{\frac {dg}{dx}}{\text{ exist.}}$

${\frac {d}{dx}}\left(f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left(...\right)^{f_{n}(x)}}}\right)=\left[\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(f_{1}(x_{1})^{f_{2}(x_{2})^{\left(...\right)^{f_{n}(x_{n})}}}\right)\right]{\biggr \vert }_{x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=x},{\text{ if }}f_{i<n}(x)>0{\text{ and }}$ ${\frac {df_{i}}{dx}}{\text{ exists. }}$

อนุพันธ์เชิงลอการิทึม

อนุพันธ์เชิงลอการิทึมเป็นอีกวิธีหนึ่งในการระบุกฎสำหรับการหาอนุพันธ์ลอการิทึมของฟังก์ชัน (โดยใช้กฎลูกโซ่):

$(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad$ โดยที่ f เป็นบวก

อนุพันธ์เชิงลอการิทึม เป็นเทคนิคที่ใช้ลอการิทึมและกฎการหาอนุพันธ์เพื่อทำให้นิพจน์บางอย่างง่ายขึ้นก่อนที่จะนำอนุพันธ์ไปใช้จริง

ลอการิทึมสามารถใช้เพื่อลบเลขยกกำลัง แปลงการคูณเป็นการรวม และแปลงการหารเป็นการลบ ซึ่งแต่ละค่าอาจนำไปสู่นิพจน์ที่ง่ายขึ้นในการหาอนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

บทความหลัก: การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$	${\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$	${\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\arctan x={\frac {1}{1+x^{2}}}$
${\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc {x}\cot {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\frac {d}{dx}}\sec x=\sec {x}\tan {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{1 \over 1+x^{2}}$

ค่าสัมบูรณ์ในตารางด้านบนมีไว้สำหรับเมื่อช่วงของซีแคนต์ผกผันเป็น $[0,\pi ]\!$ และเมื่อช่วงของโคซีแคนต์ผกผันเป็น $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$

เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันที่มีอาร์กิวเมนต์สองตัว $\arctan(y,x)$ ค่าของฟังก์ชันอยู่ในช่วง $[-\pi ,\pi ]$ และสะท้อนจตุภาคของจุด $(x,y)$ สำหรับจตุภาคที่หนึ่งและสี่ (เช่น $x>0$ ) มี $\arctan(y,x>0)=\arctan(y/x)$ อนุพันธ์ย่อยขอฟังก์ชันคือ

${\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial y}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\qquad$และ$\qquad {\frac {\partial \arctan(y,x)}{\partial x}}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}.$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก

${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
${\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\frac {d}{dx}}\tanh x={\operatorname {sech} ^{2}x}=1-\tanh ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$
${\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} {x}\coth {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} {x}\tanh {x}$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x=1-\coth ^{2}x$	${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x=-{\frac {1}{x^{2}-1}}$

ดูฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกสำหรับข้อจำกัดเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันพิเศษ

ฟังก์ชันแกมมา

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt$

${\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x)\end{aligned}}$

กับ $\psi (x)$ เป็น ฟังก์ชันไดแกมม่า ซึ่งแสดงโดยนิพจน์ที่อยู่ในวงเล็บทางด้านขวาของ $\Gamma (x)$ ในบรรทัดด้านบน

ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}$

${\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}$

อนุพันธ์ของปริพันธ์

บทความหลัก: การหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายปริพันธ์

สมมติว่าจำเป็นต้องหาอนุพันธ์ในส่วน x ของฟังก์ชัน

$F(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt$

ที่ฟังก์ชั่น $f(x,t)$ และ ${\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)$ ต่อเนื่องทั้ง $t$ และ $x$ ในบางบริเวณของระนาบ $(t,x)$ รวมทั้ง $a(x)\leq t\leq b(x),$ $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ และฟังก์ชัน $a(x)$ และ $b(x)$ ต่อเนื่องและหาค่าอนุพันธ์ต่อเนื่องได้สำหรับ $x_{0}\leq x\leq x_{1}$ - แล้วเมื่อ $\,x_{0}\leq x\leq x_{1}$ -

$F'(x)=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,$

สูตรนี้เป็นรูปแบบทั่วไปของ กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ และสามารถหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

อนุพันธ์อันดับดับที่ n

มีกฎบางกฎมีขึ้นสำหรับการคำนวณอนุพันธ์อับดับที่ n ของฟังก์ชัน โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งรวมถึง

สูตรของฟาอาดิบรูโน

ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง $${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}}$$ เมื่อ ${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$ และเซต $\{k_{m}\}$ ประกอบด้วยคำตอบจำนวนเต็มไม่เป็นลบทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์ ${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$ -

กฎทั่วไปของไลบ์นิซ

ถ้า f และ g สามารถหาอนุพันธ์ได้ n ครั้ง $${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x)$$

ดูเพิ่ม

• ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้
• ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของฟังชัน
• การหาอนุพันธ์ของปริพันธ์
• การหาอนุพันธ์ภายใต้เครื่องหมายปริพันธ์
• ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก
• ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกผกผัน
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน – ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• รายการปริพันธ์
• รายการฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์
• แคลคูลัสเมทริก
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติ – ฟังก์ชันของมุมPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• เอกลักษณ์แคลคูลัสเวกเตอร์

ที่มาและอ่านเพิ่มเติม

กฎเหล่านี้มีอยู่ในหนังสือหลายเล่ม ทั้งแคลคูลัสพื้นฐานและขั้นสูง ในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ สิ่งที่อยู่ในบทความนี้ (นอกเหนือจากอ้างอิงข้างต้น) สามารถพบได้ใน

• คู่มือคณิตศาสตร์ของสูตรและตาราง (ฉบับที่ 3), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009,ISBN 978-0-07-154855-7 .
• คู่มือสูตรฟิสิกส์ของเคมบริดจ์, G. Woan, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-57507-2 .
• วิธีทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-86153-3
• คู่มือ NIST ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์, FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2010,ISBN 978-0-521-19225-5 .

แหล่งข้อมูลอื่น

• เครื่องคำนวณอนุพันธ์พร้อมการทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย