เส้นสัมผัส

เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้ง คือเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดใดจุดหนึ่ง โดยไม่ตัดผ่านเส้นโค้งในบริเวณใกล้เคียงจุดนั้น เส้นสีแดงในภาพเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดซึ่งถูกทำเครื่องหมายด้วยจุดสีแดง.

ระนาบสัมผัสกันกับทรงกลม

ในทางเรขาคณิต เส้นสัมผัส (tangent line หรือ tangent) กับเส้นโค้งในระนาบที่จุดหนึ่ง หมายถึงเส้นตรงที่ "สัมผัส" เส้นโค้งนั้นที่จุดนั้นโดยไม่ตัดผ่าน ไลบ์นิทซ์ นิยามว่าเป็นเส้นที่ผ่านจุดคู่หนึ่งที่อยู่ใกล้กันอย่าง กณิกนันต์ บนเส้นโค้งนั้น นิยามที่แม่นยำขึ้นคือ เส้นตรงเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง y = f(x) ที่จุด x = c หากเส้นนั้นผ่านจุด (c, f(c)) บนเส้นโค้งและมีความชัน เท่ากับ f'(c) ซึ่ง f' คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน f นิยามที่คล้ายกันนี้สามารถใช้กับเส้นโค้งในปริภูมิและเส้นโค้งในปริภูมิยูคลิด n-มิติได้เช่นกัน

จุดที่เส้นสัมผัสและเส้นโค้งพบหรือจุดตัด เรียกว่าจุดสัมผัส เส้นสัมผัสกล่าวกันว่า ไปในทิศทางเดียวกัน กับเส้นโค้ง และดังนั้นจึงเป็นการประมาณด้วยเส้นตรงที่ดีที่สุดของเส้นโค้งที่จุดนั้น เส้นสัมผัสที่จุดหนึ่งบนเส้นโค้งที่มีอนุพันธ์สามารถถือได้ว่าเป็นการประมาณด้วยเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแปรผัน ที่ประมาณฟังก์ชันเดิมได้ดีที่สุดที่จุดที่กำหนด

ในทำนองเดียวกัน ระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่จุดหนึ่งคือระนาบที่สัมผัส พื้นผิวนั้นเพียงที่จุดนั้น แนวคิดของเส้นสัมผัสเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และได้รับการขยายความในหลายกรณี เช่น พื้นที่สัมผัส

ประวัติ

ยูคลิด ได้กล่าวถึงเส้นสัมผัส (ἐφαπτομένη ephaptoménē) ของวงกลมหลายครั้งในหนังสือ III ของ Elements (ประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ในงาน Conics ของอะพอลโลเนียส (ประมาณ 225 ปีก่อนคริสต์ศักราช) เขาได้กำหนดว่าเส้นสัมผัสเป็นเส้นตรงที่ไม่มีเส้นตรงอื่นใดสามารถผ่านระหว่างมันกับเส้นโค้งได้

อาร์คิมิดีส (ประมาณ 287–212 ปีก่อนคริสต์ศักราช) พบเส้นเวียนก้นหอยอาร์คิมิดีส โดยพิจารณาจากเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งนั้น

ในช่วงทศวรรษ 1630 แฟร์มาต์พัฒนาเทคนิคการคำนวณเส้นสัมผัสและปัญหาอื่น ๆ ในการวิเคราะห์ โดยใช้วิธีการที่เรียกว่า "adequality" ซึ่งคล้ายกับการหาค่าความแตกต่างระหว่าง $f(x+h)$ และ $f(x)$ แล้วหารด้วยกำลังของ $h$ เรอเน เดการ์ตค้นพบวิธีของตนเองที่เรียกว่า method of normals โดยอิงจากการสังเกตว่ารัศมีของวงกลมจะตั้งฉากกับวงกลมเสมอ

วิธีการเหล่านี้นำไปสู่การพัฒนาของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในศตวรรษที่ 17 หลายคนมีส่วนในการพัฒนา เช่น โรแบวาล ซึ่งค้นพบวิธีการทั่วไปในการวาดเส้นสัมผัสโดยการพิจารณาเส้นโค้งเป็นเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของการเคลื่อนไหวที่ง่ายกว่าหลายแบบรวมกัน เรอเน-ฟรองซัวส์ เดอ สลูส และโยฮันเนส ฮุดเด ค้นพบอัลกอริทึมทางพีชคณิตในการหาค่าเส้นสัมผัส การพัฒนาเพิ่มเติมรวมถึงผลงานของจอห์น วอลลิส และไอแซก บาร์โรว์ ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีของไอแซก นิวตันและกอทท์ฟรีด ไลบ์นิซ

ในปี 1828 เส้นสัมผัสถูกนิยามว่า "เส้นตรงที่แตะเส้นโค้ง แต่เมื่อขยายออกไปจะไม่ตัดเส้นโค้ง". นิยามนี้ป้องกันไม่ให้จุดเปลี่ยนเว้า มีเส้นสัมผัส ซึ่งถูกยกเลิกไปในภายหลัง นิยามสมัยใหม่ที่เทียบเท่ากับของไลบ์นิซคือ เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุด Pบนเส้นโค้ง เส้นสัมผัสเป็น ลิมิต ของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดบนเส้นโค้งเมื่อจุดทั้งสองนี้เคลื่อนที่เข้าใกล้จุด P

เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้งในระนาบ

เส้นสัมผัส , เส้นคอร์ด, และเส้นตัด ต่อวงกลม

แนวคิดเชิงสัญชาตญาณที่ว่าเส้นสัมผัส "สัมผัส" กับเส้นโค้งสามารถทำให้ชัดเจนขึ้นโดยการพิจารณาลำดับของเส้นตรง (เส้นสัมผัส) ที่ผ่านจุดสองจุด A และ B ซึ่งตั้งอยู่บนเส้นโค้งของฟังก์ชัน เส้นสัมผัสที่จุด A คือขีดจำกัดเมื่อจุด B เข้าใกล้หรือมุ่งสู่ A การมีอยู่และเอกลักษณ์ของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับความเรียบง่ายทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันในชื่อ "การอนุพันธ์" (differentiability) เช่น ถ้าส่วนโค้งของวงกลมสองส่วนมาบรรจบกันที่จุดคม (vertex) จะไม่มีเส้นสัมผัสที่กำหนดอย่างชัดเจนที่จุดยอด เพราะการประมาณค่าของเส้นสัมผัสขึ้นอยู่กับทิศทางที่ "จุด B" เข้าใกล้จุดยอด

ที่จุดส่วนใหญ่ เส้นสัมผัสจะสัมผัสเส้นโค้งโดยไม่ข้ามมัน (แม้ว่าเมื่อเส้นสัมผัสยืดออกไปอาจจะข้ามเส้นโค้งในที่อื่น ๆ ห่างจากจุดสัมผัส) จุดที่เส้นสัมผัส (ที่จุดนี้) ข้ามเส้นโค้งเรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า วงกลม พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และ วงรี ไม่มีจุดเปลี่ยนรูป แต่เส้นโค้งที่ซับซ้อนมากขึ้นมี เช่น กราฟของ ฟังก์ชันกำลังสาม ที่มีจุดเปลี่ยนรูปหนึ่งจุด หรือเส้นไซน์ (sinusoid) ที่มีจุดเปลี่ยนรูปสองจุดต่อแต่ละ ช่วงเวลา ของ ไซน์

ในทางกลับกัน อาจเกิดกรณีที่เส้นโค้งอยู่ทางด้านเดียวของเส้นตรงที่ผ่านจุดบนมัน และเส้นตรงนี้ไม่ใช่เส้นสัมผัส ตัวอย่างเช่น เส้นที่ผ่านจุดยอดของ สามเหลี่ยม และไม่ตัดกับมันที่อื่น ๆ—ซึ่งเส้นสัมผัสไม่สามารถมีได้จากเหตุผลที่กล่าวไว้ข้างต้น ใน เรขาคณิตนูน เส้นตรงเหล่านี้เรียกว่า ไฮเปอร์เพลนรองรับ

คำอธิบายที่เข้าใจได้ง่าย

สมมุติว่าเส้นโค้งกำหนดโดยกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) เพื่อหาค่าของเส้นสัมผัสที่จุด p = (a, f(a)) ให้พิจารณาจุดใกล้เคียงอีกจุดหนึ่ง q = (a + h, f(a + h)) บนเส้นโค้ง ความชันของเส้นตัด ที่ผ่านจุด p และ q จะเท่ากับค่าของสัดส่วนต่าง (difference quotient) ซึ่งเป็น:

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

เมื่อจุด q เข้าใกล้ p มากขึ้น (ซึ่งสอดคล้องกับการทำให้ h เล็กลงเรื่อย ๆ) ค่าของสัดส่วนต่างนี้จะเข้าใกล้ค่าจำกัดที่แน่นอน kซึ่งเป็นความชันของเส้นสัมผัสที่จุด p หากทราบว่า k คือค่าความชัน สามารถหาสมการของเส้นสัมผัสได้ในรูปแบบสมการจุด-ความชัน:

$y-f(a)=k(x-a).\,$

More rigorous description

เพื่อทำให้เหตุผลข้างต้นเป็นทางการ ต้องอธิบายว่าการคำนวณความแตกต่าง (difference quotient) เข้าใกล้ค่า k อย่างไร การกำหนดทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำถูกให้โดย โกชี ในศตวรรษที่ 19 และอิงจากแนวคิดของ ลิมิต สมมุติว่าเส้นกราฟไม่มีการขาดหรือขอบคมที่จุด p และไม่เป็นแนวดิ่งหรือมีการแกว่งมากเกินไปใกล้ p ดังนั้นจะมีค่า k เฉพาะที่ทำให้เมื่อ h เข้าใกล้ 0, ความแตกต่างของการคำนวณความแตกต่างจะเข้าใกล้ k มากขึ้นเรื่อย ๆ และระยะห่างระหว่างพวกมันจะไม่สำคัญเมื่อเปรียบเทียบกับขนาดของ h ถ้า h เล็กพอ

นี่นำไปสู่การนิยามของความชันของเส้นสัมผัสที่กราฟว่าเป็นลิมิตของความแตกต่างของการคำนวณสำหรับฟังก์ชัน f ลิมิตนี้คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x = a ซึ่งเขียนว่า f ′(a) ใช้อนุพันธ์ สมการของเส้นสัมผัสสามารถแสดงได้ดังนี้:

$y=f(a)+f'(a)(x-a).\,$

แคลคูลัสให้กฎสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ถูกกำหนดโดยสูตร เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล, ลอการิทึม, และการรวมกันต่าง ๆ ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสที่กราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ รวมถึงฟังก์ชันอื่น ๆ สามารถหาได้โดยวิธีการของแคลคูลัส

วิธีการที่อาจล้มเหลว

คณิตศาสตร์การวิเคราะห์แสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันและจุดบนกราฟของมันที่ลิมิตที่กำหนดความชันของเส้นสัมผัสไม่เป็นที่มีอยู่ สำหรับจุดเหล่านี้ ฟังก์ชัน f ถือว่าเป็น non-differentiable หรือไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ มีสาเหตุสองประการที่ทำให้วิธีการหาค่าของเส้นสัมผัสตามลิมิตและอนุพันธ์ล้มเหลว: คือ เส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตมีอยู่ แต่เป็นเส้นแนวตั้ง ซึ่งไม่สามารถแสดงในรูปแบบจุด-ความชันได้เนื่องจากมันไม่มีความชัน หรือกราฟมีลักษณะหนึ่งในสามประเภทที่ไม่สามารถมีเส้นสัมผัสเชิงเรขาคณิตได้

กราฟ y = x^1/3 แสดงตัวอย่างแรก: ที่นี่คำต่างต่างที่ a = 0 เท่ากับ h^1/3/h = h^−2/3 ซึ่งมีค่ามากเมื่อ h เข้าใกล้ 0 เส้นโค้งนี้มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดที่เป็นแนวตั้ง

กราฟ y = x^2/3 แสดงอีกตัวอย่างหนึ่ง: กราฟนี้มี cusp ที่จุดกำเนิด ซึ่งหมายความว่า เมื่อลิมิต h เข้าใกล้ 0, คำต่างต่างที่ a = 0 จะเข้าใกล้อนันต์บวกหรือลบ ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ x ดังนั้นทั้งสองสาขาของเส้นโค้งอยู่ใกล้กับเส้นครึ่งหนึ่งแนวตั้งที่ y = 0 แต่ไม่มีสาขาใดใกล้กับส่วนลบของเส้นนี้ โดยพื้นฐานแล้วไม่มีเส้นสัมผัสที่จุดกำเนิดในกรณีนี้ แต่ในบางบริบทอาจถือว่าเส้นนี้เป็นเส้นสัมผัส และใน เรขาคณิตเชิงพีชคณิต อาจเรียกว่า double tangent

กราฟ y = |x| ของฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์ ประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้นที่มีความชันต่างกันเชื่อมต่อที่จุดกำเนิด ขณะที่จุด q เข้าใกล้จุดกำเนิดจากขวา เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ 1 เสมอ ขณะที่จุด q เข้าใกล้จุดกำเนิดจากซ้าย เส้นสัมผัสจะมีความชันเท่ากับ -1 เสมอ ดังนั้นจึงไม่มีเส้นสัมผัสที่ชัดเจนที่จุดกำเนิด การมีความชันที่แตกต่างกันสองค่า (แต่เป็นค่าที่จำกัด) เรียกว่า corner

สุดท้าย เนื่องจากการมีอนุพันธ์หมายถึงความต่อเนื่อง การแย้งสลับที่ กล่าวว่า ความไม่ต่อเนื่อง หมายถึงการไม่สามารถมีอนุพันธ์ได้ การมีจุดกระโดดหรือการหยุดชะงักที่จุดใดจุดหนึ่งจะไม่มีเส้นสัมผัส ซึ่งรวมถึงกรณีที่ความชันเข้าใกล้อนันต์บวกในขณะที่อีกค่าหนึ่งเข้าใกล้อนันต์ลบ ซึ่งนำไปสู่การกระโดดที่ไม่สิ้นสุด

สมการ

เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย y = f(x) ความชันของเส้นสัมผัสคือ $dy/dx$ ดังนั้นตาม สูตรจุด-ความชัน สมการของเส้นสัมผัสที่จุด (X, Y) คือ

$y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)$

โดยที่ (x, y) เป็นพิกัดของจุดใด ๆ บนเส้นสัมผัส และการอนุพันธ์จะถูกประเมินที่ $x=X$.

เมื่อเส้นโค้งถูกกำหนดโดย y = f(x) สมการของเส้นสัมผัสยังสามารถหาจาก การหารพหุนามแบบยาว โดยการหาร $f,(x)$ ด้วย $(x-X)^{2}$; หากเศษที่เหลือคือ $g(x)$ สมการของเส้นสัมผัสคือ

$y=g(x).$

เมื่อสมการของเส้นโค้งถูกกำหนดในรูปแบบ f(x, y) = 0 ค่าของความชันสามารถหาได้จาก ฟังก์ชันโดยนัย ซึ่งให้

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}.$

สมการของเส้นสัมผัสที่จุด (X, Y) ซึ่ง f(X, Y) = 0 คือ

${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.$

สมการนี้ยังคงเป็นจริงหาก

${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,$

ในกรณีนี้ความชันของเส้นสัมผัสจะเป็นอนันต์ หากอย่างไรก็ตาม

${\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,$

เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนดและจุด (X, Y) ถือเป็น จุดพิเศษ

สำหรับ เส้นโค้งพีชคณิต การคำนวณอาจถูกทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงเป็น พิกัดเอกพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งเป็น g(x, y, z) = 0 ซึ่ง g เป็นฟังก์ชันโฮโมจีนีของระดับ n ดังนั้นหาก (X, Y, Z) อยู่บนเส้นโค้ง ฟังก์ชันเอกพันธ์ กล่าว

$${\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.$$

ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นสัมผัสคือ

${\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.$

สมการของเส้นสัมผัสในพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถหาจากการตั้ง z=1 ในสมการนี้.

เพื่อใช้กับเส้นโค้งเชิงพีชคณิต ให้เขียน f(x, y) เป็น

$f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0},$

โดยที่แต่ละ u_r เป็นผลรวมของทุกคำที่มีระดับ r สมการเชิงโฮโมจีนีของเส้นโค้งคือ

$g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.,$

การใช้สมการข้างต้นและตั้ง z=1 จะให้

${\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0$

เป็นสมการของเส้นสัมผัส. สมการในรูปนี้มักจะใช้ง่ายกว่าเนื่องจากไม่ต้องทำการปรับปรุงเพิ่มเติมหลังจากที่มันถูกใช้.

หากเส้นโค้งถูกกำหนด parametrically โดย

$x=x(t),\quad y=y(t)$

ความชันของเส้นสัมผัสคือ

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}$

ทำให้สมการของเส้นสัมผัสที่ $,t=T,,X=x(T),,Y=y(T)$ เป็น

${\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).$

หาก

${\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,$

เส้นสัมผัสจะไม่ได้รับการกำหนด อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นว่าเส้นสัมผัสมีอยู่และสามารถคำนวณได้จากสมการเชิงพีชคณิตของเส้นโค้ง

เส้นสัมผัสต่อเส้นโค้ง

เส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดสัมผัสเรียกว่า เส้นปกติ ที่จุดนั้น ความชันของเส้นที่ตั้งฉากมีผลคูณเป็น -1 ดังนั้นหากสมการของเส้นโค้งคือ y = f(x) ความชันของเส้นปกติคือ :$-1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}$ และตามนั้น สมการของเส้นปกติที่จุด (X, Y) คือ :$(x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.$ ในทำนองเดียวกัน หากสมการของเส้นโค้งมีรูปแบบ f(x, y) = 0 สมการของเส้นปกติคือ :${\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.$

หากเส้นโค้งถูกกำหนดตามพารามิเตอร์โดย :$x=x(t),\quad y=y(t)$ สมการของเส้นปกติคือ :${\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.$

มุมระหว่างเส้นโค้ง

มุมระหว่างเส้นโค้งที่จุดที่พวกเขาตัดกันถูกกำหนดเป็นมุมระหว่างเส้นสัมผัสของพวกมันที่จุดนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นโค้งสองเส้นกล่าวว่ามีการสัมผัสที่จุดหากพวกมันมีเส้นสัมผัสเดียวกันที่จุดนั้น และมีลักษณะเป็นออร์โธโกนัลหากเส้นสัมผัสของพวกมันตั้งฉากกัน

เส้นสัมผัสหลายเส้นที่จุดเดียว

เส้นโค้งที่มีเส้นสัมผัสสองเส้นที่จุดกำเนิด

สูตรที่กล่าวถึงข้างต้นล้มเหลวเมื่อจุดเป็น จุดเอกพจน์ของเส้นโค้ง ในกรณีนี้อาจมีหลายสาขาของเส้นโค้งที่ผ่านจุดนั้นแต่ละสาขามีเส้นสัมผัสของตนเอง เมื่อตรงที่เป็นจุดกำเนิด สมการของเส้นเหล่านี้สามารถหาจากการแยกสมการที่กำจัดทุกอย่างที่มีระดับต่ำสุดจากสมการดั้งเดิม โดยเปลี่ยนจุดใด ๆ ให้เป็นจุดกำเนิดโดยการเปลี่ยนตัวแปร (หรือโดยการ การแปลง เส้นโค้ง) วิธีนี้ช่วยให้หาค่าของเส้นสัมผัสที่จุดพิเศษได้

ตัวอย่างเช่น สมการของ ไตรเซกทริกซ์แบบลิมาซอน ที่แสดงทางขวาคือ :$(x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).,$ การขยายและการกำจัดคำที่มีระดับต่ำสุดจะให้ :$a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0,$ ซึ่งเมื่อแยกจะกลายเป็น :$y=\pm {\sqrt {3}}x.$ ดังนั้นนี่คือสมการของเส้นสัมผัสสองเส้นผ่านจุดกำเนิด.

เมื่อเส้นโค้งไม่ข้ามตัวเอง, เส้นสัมผัสที่จุดอ้างอิงอาจยังไม่ถูกกำหนดอย่างชัดเจนเนื่องจากเส้นโค้งไม่สามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดนั้นแม้ว่ามันจะสามารถหาค่าของอนุพันธ์ที่จุดอื่นได้ ในกรณีนี้ อนุพันธ์ซ้ายและขวา จะถูกกำหนดเป็นลิมิตของอนุพันธ์เมื่อจุดที่มันถูกประเมินเข้าใกล้จุดอ้างอิงจากทางซ้าย (ค่าต่ำกว่า) หรือจากทางขวา (ค่าที่สูงกว่า) ตัวอย่างเช่น เส้นโค้ง y = |x | ไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่ x = 0: ความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเป็น -1 และ 1 ตามลำดับ เส้นสัมผัสที่จุดนั้นที่มีความชันเหล่านี้เรียกว่าเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวา.

บางครั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามีค่าเท่ากัน ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงเหมือนกัน นี่เป็นจริงสำหรับเส้นโค้ง y = x ^2/3 ซึ่งทั้งความชันของเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามาที่ x = 0 เป็นอนันต์; ทั้งสองเส้นสัมผัสด้านซ้ายและด้านขวามามีสมการ x = 0

วงกลมสัมผัส

วงกลมสัมผัสสองคู่: ด้านบนสัมผัสภายใน และด้านล่างสัมผัสภายนอก

วงกลมสองวงที่แตกต่างกันในระนาบเดียวกันจะกล่าวว่าสัมผัสกันหากพวกมันพบกันที่จุดเดียวเท่านั้น

หากจุดในระนาบถูกอธิบายโดยใช้ พิกัดคาร์ทีเซียน, วงกลมสองวงที่มี รัศมี $r_{1},r_{2}$ และ $(x_{1},y_{1})$ และศูนย์กลางที่ $(x_{2},y_{2})$ จะสัมผัสกันเมื่อ:

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.$

วงกลมทั้งสองจะถูกเรียกว่า สัมผัสภายนอก หาก ระยะทาง ระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับผลรวมของรัศมีของพวกมัน:

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.$

หรือ สัมผัสภายใน หากระยะทางระหว่างศูนย์กลางของพวกมันเท่ากับความแตกต่างของรัศมี:

$\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.$

ระนาบสัมผัสกันกับพื้นผิว

แผ่นสัมผัส (Tangent Plane) ต่อพื้นผิวที่จุดกำหนด p ถูกกำหนดในลักษณะคล้ายกับเส้นสัมผัสในกรณีของเส้นโค้ง มันเป็นการประมาณที่ดีที่สุดของพื้นผิวโดยแผ่นที่จุด p และสามารถหามาได้จากตำแหน่งจำกัดของแผ่นที่ผ่านจุดสามจุดที่แตกต่างกันบนพื้นผิวที่ใกล้เคียงกับ p เมื่อตำแหน่งของจุดเหล่านี้เข้าใกล้ p ในทางคณิตศาสตร์ หากพื้นผิวถูกกำหนดโดยฟังก์ชัน$z=f(x,y)$ สมการของแผ่นสัมผัสที่จุด $(x_{0},y_{0},z_{0})$ สามารถเขียนได้ว่า:

$z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$.

ในที่นี้ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ และ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ คืออนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชัน $f$ ตาม $x$ และ $y$ ตามลำดับ, ที่ประเมินที่จุด $(x_{0},y_{0})$โดยพื้นฐานแล้ว, แผ่นสัมผัสจับพฤติกรรมท้องถิ่นของพื้นผิวที่จุดเฉพาะ p เป็นแนวคิดพื้นฐานที่ใช้ในแคลคูลัสและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ซึ่งมีความสำคัญในการเข้าใจการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในท้องถิ่นบนพื้นผิว

ดูเพิ่มเติม

• แนวฉาก
• เส้นตั้งฉาก