การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน

ในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน เป็นวิธีการที่ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ใช้เมื่อนิพจน์ที่มีตัวแปรเสริมเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งโดยปกติอยู่ในรูปของเลขยกกำลังของฟังก์ชันเบื้องต้น หรือผลคูณของฟังก์ชันอดิศัย และพหุนามที่มีดีกรีใด ๆ ไม่สามารถหาปริพันธ์โดยตรงได้ แต่การใช้วิธีการหาปริพันธ์อื่น ๆ สามารถกำหนดสูตรลดทอนเพื่อให้ได้ปริพันธ์ของนิพจน์เดียวกันหรือคล้ายกันที่มีตัวแปรจำนวนเต็มเสริมที่ต่ำลง โดยจะลดความซับซ้อนของปริพันธ์ลงทีละน้อยจนกระทั่งสามารถหาค่าได้ วิธีหาปริพันธ์นี้เป็นหนึ่งในวิธีแรก ๆ ที่ใช้กัน

วิธีการหาสูตรลดทอน

สูตรลดทอนสามารถหาได้โดยใช้วิธีการหาปริพันธ์ทั่วไป เช่นการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ การหาปริพันธ์โดยการหาเศษส่วนย่อย ฯลฯ แนวคิดหลักคือให้ปริพันธ์ที่มีตัวแปรเสริมจำนวนเต็ม (เช่น เลขยกกำลัง) ของฟังก์ชันเป็น I_n ปริพันธ์ที่มีกับค่าตัวแปรเสริมที่ต่ำลง (เลขยกกำลังต่ำกว่า) ของฟังก์ชันนั้นให้เป็น เช่น I_{n -1} หรือ I_{n -2} ซึ่งทำให้สูตรลดทอนเป็นประเภทหนึ่งของความสัมพันธ์เวียนเกิด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สูตรลดทอนจะทำให้ปริพันธ์

$I_{n}=\int f(x,n)\,{\text{d}}x,$

อยู่ในรูปของ

$I_{k}=\int f(x,k)\,{\text{d}}x,$

เมื่อ

$k<n.$

วิธีการคำนวณหาปริพันธ์

ในการคำนวณหาปริพันธ์ เราให้ n เป็นค่าของตัวแปรเสริม และใช้สูตรลดทอนเพื่อแสดงอยู่ในรูปของปริพันธ์ของ (n – 1) หรือ (n – 2) ปริพันธ์ที่มีเลขยกกำลังต่ำกว่าสามารถนำมาใช้คำนวณปริพันธ์เลขยกกำลังสูงกว่าได้ โดยกระบวนการนี้ทำต่อไปซ้ำ ๆ จนกว่าจะถึงจุดที่สามารถหาปริพันธ์ฟังก์ชันได้ โดยปกติเมื่อเลขยกกำลังของฟังก์ชันดังกล่าวเป็น 0 หรือ 1 จากนั้นเราทำการแทนค่าผลลัพธ์ก่อนหน้านั้นอีกครั้งจนกระทั่งเราหา I_n ได้

ตัวอย่าง

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของวิธีการใช้สูตรลดทอน

ปริพันธ์ของฟังก์ชันโคไซน์

โดยทั่วไปปริพันธ์เช่น

$\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x,\,\!$

สามารถหาค่าได้โดยการใช้สูตรลดทอน

$\int \cos ^{n}(x)\,{\text{d}}x\!$, สำหรับ n = 1, 2 ... 30

เริ่มต้นโดยการตั้งให้

$I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x.\,\!$

สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

$I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}}x,\,\!$

หาปริพันธ์โดยการแทนค่าดังนี้

$\cos x\,{\text{d}}x={\text{d}}(\sin x),\,\!$

$I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x).\!$

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

${\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x&=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x)\!=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{aligned}}\,$

$I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2},\,$

$nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2},\,$

$I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2},\,$

ดังนั้นสูตรลดทอนคือ

$\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x.\!$

ตัวอย่างเพิ่มเติมจากตัวอย่างด้านบนสามารถนำมาใช้หาปริพันธ์สมมติให้ n = 5

$I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}}x.\,\!$

คำนวนหาปริพันธ์ที่มีเลขดัชนีต่ำกว่า

$n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3},\,$

$n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}I_{1},\,$

แทนค่ากลับได้

$\because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\sin x+C_{1},\,$

$\therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1},\,$

$I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C,\,$

โดยที่ C เป็นค่าคงที่

ปริพันธ์ของเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างทั่วไปอีกอันคือ

$\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!$

เริ่มโดยการตั้งให้

$I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!$

หาปริพันธ์โดยการแทนค่า

$x^{n}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(x^{n+1})}{n+1}},\,\!$

$I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1}),\!$

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

${\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!$

$(n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!$

เลื่อนดัชนีกลับไป 1 (n + 1 → n และ n → n – 1)

$nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n},\!$

แก้หา I_n

$I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!$

ดังนั้นสูตรลดทอนคือ

$\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!$

วิธีทางเลือกอื่นในการหาสูตรลดทอนทำได้โดยเริ่มจากการแทนค่า $e^{ax}$

หาปริพันธ์โดยการแทนค่า

$e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}},\,\!$

$I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax}),\!$

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

${\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!$

ซึ่งให้สูตรลดลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ

$I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!$

ซึ่งเท่ากับ

$\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!$

อีกทางเลือกหนึ่งในการหาสูตรลดทอนได้โดยการบูรณาการแบบแยกส่วน

$I_{n}=\int x^{n}xe^{ax}\,{\text{d}}x,\!$

$u=x^{n}{\text{, }}\ dv=e^{ax},$

${\frac {du}{dx}}\ =nx^{n-1}{\text{, }}\ v={\frac {e^{ax}}{a}}\$

$I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -\int nx^{n-1}\ {\frac {e^{ax}}{a}}\ {\text{d}}x\$

$I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ \int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\$

จำไว้ว่า

$I_{n-1}=\int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\$

$\therefore \ I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ I_{n-1}$

ซึ่งให้สูตรลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ

$I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!$

ซึ่งเท่ากับ

$\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!$

รายการสูตรลดทอนจำนวนเต็ม

ฟังก์ชันตรรกยะ

ปริพันธ์ต่อไปนี้ ประกอบด้วย

• ตัวประกอบของรากเชิงเส้น ${\sqrt {ax+b}}\,\!$
• ตัวประกอบเชิงเส้น ${px+q}\,\!$ และรากเชิงเส้น ${\sqrt {ax+b}}\,\!$
• ตัวประกอบกำลังสอง $x^{2}+a^{2}\,\!$
• ตัวประกอบกำลังสอง $x^{2}-a^{2}\,\!$, สำหรับ $x>a\,\!$
• ตัวประกอบกำลังสอง $a^{2}-x^{2}\,\!$, สำหรับ $x<a\,\!$
• ตัวประกอบกำลังสอง (ลดทอนไม่ได้) $ax^{2}+bx+c\,\!$
• รากที่สองของตัวประกอบกำลังสองที่ลดทอนไม่ได้ ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,\!$

ปริพันธ์	สูตรลดทอน
$I_{n}=\int {\frac {x^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}-{\frac {2nb}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{n}{\sqrt {ax+b}}}}\,\!$	$I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}}-{\frac {a(2n-3)}{2b(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int x^{n}{\sqrt {ax+b}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {(ax+b)^{3}}}}{a(2n+3)}}-{\frac {2nb}{a(2n+3)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(ax+b)^{m}(px+q)^{n}}}\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}\right]\\{\frac {1}{(m-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}\right]\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}}+a(n-m-2)I_{m,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(n-m-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{cases}}\,\!$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_{n}=\int {\frac {(px+q)^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$\int (px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}\,{\text{d}}x={\frac {2(px+q)^{n+1}{\sqrt {ax+b}}}{p(2n+3)}}+{\frac {bp-aq}{p(2n+3)}}I_{n}\,\!$ $I_{n}={\frac {2(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}+{\frac {2n(aq-bp)}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}}}\,\!$	$\int {\frac {\sqrt {ax+b}}{(px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}}+{\frac {a}{2p(n-1)}}I_{n}\,\!$ $I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1}}}+{\frac {a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}}I_{n-1}\,\!$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!$	$a^{2}I_{n,m}=I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}-a^{2}I_{m-2,n}\,\!$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}=-{\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}-a^{2})^{n-1}}}-{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!$	${a^{2}}I_{n,m}=I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}+a^{2}I_{m-2,n}\,\!$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(a^{2}-x^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!$	${a^{2}}I_{n,m}=I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n,m}=a^{2}I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{{x^{n}}(ax^{2}+bx+c)}}\,\!$	$-cI_{n}={\frac {1}{x^{n-1}(n-1)}}+bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {x^{m}\,{\text{d}}x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!$	$I_{m,n}=-{\frac {x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(n-m)}{a(2n-m-1)}}I_{m-1,n}+{\frac {c(m-1)}{a(2n-m-1)}}I_{m-2,n}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!$	$-c(m-1)I_{m,n}={\frac {1}{x^{m-1}(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!$

ปริพันธ์	สูตรลดขนาด
$I_{n}=\int (ax^{2}+bx+c)^{n}\,{\text{d}}x\,\!$	$8a(n+1)I_{n+{\frac {1}{2}}}=2(2ax+b)(ax^{2}+bx+c)^{n+{\frac {1}{2}}}+(2n+1)(4ac-b^{2})I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$(2n-1)(4ac-b^{2})I_{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {2(2ax+b)}{(ax^{2}+bx+c)^{n-{\frac {1}{2}}}}}+{8a(n-1)}I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!$

$I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!$

ฟังก์ชันอดิศัย

ปริพันธ์ต่อไปนี้ ประกอบด้วย

• ตัวประกอบของไซน์
• ตัวประกอบของโคไซน์
• ตัวประกอบของผลคูณและผลหารของไซน์และโคไซน์
• ผลคูณ/ผลหารของตัวประกอบเลขชี้กำลังและกำลังของ x
• ผลคูณของตัวประกอบเลขชี้กำลังและไซน์/โคไซน์

ปริพันธ์	สูตรลดทอน
$I_{n}=\int x^{n}\sin {ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$a^{2}I_{n}=-ax^{n}\cos {ax}+nx^{n-1}\sin {ax}-n(n-1)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int x^{n}\cos {ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$a^{2}J_{n}=ax^{n}\sin {ax}+nx^{n-1}\cos {ax}-n(n-1)J_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {\sin {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$ $J_{n}=\int {\frac {\cos {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}J_{n-1}\,\!$ $J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!$ สูตรเหล่านี้สามารถรวมกันให้อยู่ในรูป In $J_{n-1}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}-{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\,\!$ $I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\right]\,\!$ $\therefore I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left({\frac {\cos {ax}}{x^{n-2}}}+aI_{n-2}\right)\,\!$ และในรูป Jn $I_{n-1}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\,\!$ $J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\right]\,\!$ $\therefore J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left(-{\frac {\sin {ax}}{x^{n-2}}}+aJ_{n-2}\right)\,\!$
$I_{n}=\int \sin ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$anI_{n}=-\sin ^{n-1}{ax}\cos {ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int \cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$anJ_{n}=\sin {ax}\cos ^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\sin ^{n}{ax}}}\,\!$	$(n-1)I_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{a\sin ^{n-1}{ax}}}+(n-2)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\cos ^{n}{ax}}}\,\!$	$(n-1)J_{n}={\frac {\sin {ax}}{a\cos ^{n-1}{ax}}}+(n-2)J_{n-2}\,\!$

ปริพันธ์	สูตรลดรูป
$I_{m,n}=\int \sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n+1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {m-1}{m+n}}I_{m-2,n}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {n-1}{m+n}}I_{m,n-2}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}}}\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {1}{a(m-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{m-1}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {\sin ^{m}{ax}}{\cos ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {\cos ^{m}{ax}}{\sin ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\-{\frac {\cos ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\sin ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$

ปริพันธ์	สูตรลดทอน
$I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!$ $n>0\,\!$	$I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}-{\frac {n}{a}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int x^{-n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!$ $n>0\,\!$ $n\neq 1\,\!$	$I_{n}={\frac {-e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int e^{ax}\sin ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {e^{ax}\sin ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\sin bx-bn\cos bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int e^{ax}\cos ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {e^{ax}\cos ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\cos bx+bn\sin bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!$

บรรณานุกรม

• Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.