อนุกรมเรขาคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่าง ๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น

1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}

และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต

\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}

จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ $|r|<1$

ผลรวม

ผลรวมย่อย

ผลรวมย่อยของ n พจน์แรกคือ

\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,\!

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย $(1-r)$ ได้

{\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=0}^{n}ar^{k}&=(1-r)(a+ar+ar^{2}+...+ar^{n})\\&=(a+ar+ar^{2}+...+ar^{n})-r(a+ar+ar^{2}+...+ar^{n})\\&=(a+{\cancel {ar}}+{\cancel {ar^{2}}}+...+{\cancel {ar^{n}}})-({\cancel {ar}}+{\cancel {ar^{2}}}+{\cancel {ar^{3}}}...+ar^{n+1})\\&=a-ar^{n+1}\end{aligned}}

ซึ่งพจน์อื่น ๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1

\sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-1)}{r-1}}

ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ

\sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-r^{m})}{r-1}}

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย $(1-r^{2})$

(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}

จะได้สูตร

\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่

(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}

จะได้สูตร

\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}

ผลรวมทั้งหมด

สามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด

\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}

ซึ่ง $r^{k}$ จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ k มีค่าเข้าใกล้อนันต์ก็ต่อเมื่อ $|r|<1$ ดังนั้น

\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร

\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร

\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}

โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ $|r|<1$ เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก

การนำไปใช้

ทศนิยมซ้ำ

สูตรผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตใช้เขียนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนได้ โดยตัวอย่างเช่น 0.121212... เขียนได้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 12/100 และ r = 1/100 ดังนี้

${\begin{aligned}0.121212...&=0.12+0.0012+0.000012+...\\&={\frac {12}{100}}+{\frac {12}{10000}}+{\frac {12}{1000000}}+...\\&={\frac {12}{100}}+{\frac {12}{100}}\left({\frac {1}{100}}\right)+{\frac {12}{100}}\left({\frac {1}{100}}\right)^{2}+...\\&={\frac {12/100}{1-1/100}}={\frac {12/100}{99/100}}={\frac {12}{99}}={\frac {4}{33}}\end{aligned}}$