กฎยกกำลัง
บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ |
แคลคูลัส |
---|
ในแคลคูลัส สูตรหรือกฎยกกำลัง (อังกฤษ: power rule) ใช้เพื่อหาอนุพันธ์ฟังก์ชันในรูป เมื่อใดก็ตามที่ เป็นจำนวนจริง เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็นการดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ พหุนามจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎนี้ กฎยกกำลังรองรับอนุกรมเทย์เลอร์เนื่องจากเชื่อมโยงอนุกรมกำลังกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ประพจน์ของกฎยกกำลัง[แก้]
ให้ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ สำหรับทุก ที่ [a] แล้ว
กฎยกกำลังของการปริพันธ์กล่าวว่า สำหรับจำนวนจริงใด ๆ กฎดังกล่าวสามารถหาได้โดยการย้อนกลับกฎยกกำลัฃสำหรับอนุพันธ์ ในสมการนี้ C เป็นค่าคงตัวใด ๆ
บทพิสูจน์[แก้]
พิสูจน์โดยใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย[แก้]
เป็นวิธีวางนัยทั่วไปตรง ๆ ของกฎยกกำลังไปยังเลขยกกำลังตรรกยะ ใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย
ให้ เมื่อ ทำให้
แล้ว
อนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการในส่วน
แก้หา
เนื่องาก
ใช้สมบัติของเลขยกกำลัง
ให่้ สามารถสรุปได้ว่า เมื่อ เป็นจำนวนตรรกยะ
การนำไปใช้กับพหุนาม[แก้]
พหุนามอาจเป็นฟังก์ชันที่ง่ายที่สุดในการทำแคลคูลัส อนุพันธ์ และปริพันธ์เป็นไปตามกฎต่อไปนี้
ดังนั้นอนุพันธ์ของ ก็คือ และปริพันธ์ของ คือ
บทพิสูจน์[แก้]
เนื่องจากการหาอนุพันธ์เป็น การแปลงเชิงเส้น จะได้
ดังนั้นจะต้องหา สำหรับ จำนวนธรรมชาติ ใดๆ ซึ่งมีการพิสูจน์โดยอุปนัย โดยใช้ กฎผลคูณ ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีที่ เท่านั้น
นัยทั่วไป[แก้]
เป็นจริงทุกค่า k ที่ xk มีความหมาย หรือ ทุกค่า k ที่เป็นจำนวนตรรกยะที่ xk มีการนิยามไว้
นัยทั่วไปนี้ก็เป็นจริงสำหรับการหาปริพันธ์ของพหุนามเช่นเดียวกัน
ถ้ามีพหุนามที่ตัวคูณไม่ใช่จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นอาจเป็น จำนวนเต็ม หรือตัวเลขมอดุโลของจำนวนเฉพาะ) ก็สามารถนิยามอนุพันธ์จากความสัมพันธ์ข้างบน
พิสูจน์โดย ทฤษฎีบททวินาม (จำนวนธรรมชาติ)[แก้]
หมายเหตุ[แก้]
- ↑ ถ้า เป็นจำนวนตรรกยะซึ่งมีเศษส่วนอย่างต่ำที่ตัวส่วนเป็นจำนวนคี่ แล้วโดเมนของ ได้รับการเข้าใจว่าเป็น . ไม่เช่นนั้นโดเมนจะเป็น .
อ้างอิง[แก้]
- Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.