อนุพันธ์อันดับสอง
บทความนี้เป็นส่วนหนึ่งของ |
แคลคูลัส |
---|
ในแคลคูลัส อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f คืออนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ f อนุพันธ์อันดับสองสามารถใช้กล่าวในภาษาไม่เป็นทางการได้ว่า "อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง" ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลาคือความเร่งขนะหนึ่งของวัตถุ หรืออัตราที่ความเร็วของวัตถุที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
ในสัญกรณ์ไลบ์นิซโดยที่ a คือความเร่ง v คือความเร็ว t คือเวลา x คือตำแหน่ง และ d คือ "เดลตา" หรือการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง นิพจน์สุดท้าย คืออนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง ( x ) เทียบกับเวลา
บนกราฟของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองสอดคล้องกับความโค้ง หรือความเว้าของกราฟ กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเว้าขึ้น ในขณะที่กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะโค้งในทิศตรงกันข้าม
กฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสอง[แก้]
กฎยกกำลังสำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง หากกระทำสองครั้งจะสามารถสร้างกฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้
สัญกรณ์[แก้]
อนุพันธ์อันดับสองของ โดยมากจะเขียนเป็น [1][2] ซึ่งคือ
เมื่อใช้สัญกรณ์ของไลบ์นิซสำหรับอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรตาม y เทียบตัวแปรอิสระ x จะเขียนได้ว่าที่มาของสัญกรณ์นี้คือ
ตัวอย่าง[แก้]
เมื่อพิจารณาฟังก์ชันอนุพันธ์ของ f คือฟังก์ชันอนุพันธ์อันดับสองของ f คืออนุพันธ์ของ กล่าวคือ
ความสัมพันธ์กับกราฟ[แก้]
ความเว้า[แก้]
อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน f สามารถใช้เพื่อกำหนด ความเว้า ของกราฟของ f [2] ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกเรียกเว้าขึ้น (หรือ นูน) ซึ่งมีความหมายว่า เส้นสัมผัสจะอยู่ใต้กราฟของฟังก์ชันใกล้จุดที่สัมผัสกับฟังก์ชัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเว้าลง (หรือ เว้า) และเส้นสัมผัสกันจะอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชันใกล้กับจุดที่สัมผัส
จุดเปลี่ยนเว้า[แก้]
ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเว้าลงไปเป็นเว้าขึ้นหรือในทางกลับกัน จุดที่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนนี้เรียกว่าจุดเปลี่ยนเว้า สมมติว่าอนุพันธ์อันดับสองมีภาวะต่อเนื่อง จะต้องมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดเปลี่ยนเว้าใดๆ แม้ว่าไม่ใช่ทุกจุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์จะต้องเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ตาม
การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง[แก้]
ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์อันดับสองกับกราฟสามารถใช้เพื่อทดสอบว่าจุดนิ่งสำหรับฟังก์ชัน (เช่น จุดที่ ) ว่าใช่ค่าสูงสุดเฉพาะที่หรือค่าต่ำสุดเฉพาะที่ไหม
- ถ้า , แล้ว มีค่าสูงสุดเฉพาะที่ที่
- ถ้า , แล้ว มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่ -
- ถ้า การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองไม่ได้กล่าวถึงจุด นี้เลย อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้
เหตุผลที่อนุพันธ์อันดับสองให้ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบในชีวิตจริง พิจารณารถคันหนึ่งวิ่งไปข้างหน้าด้วยความเร็วสูงในตอนแรกแต่มีความเร่งเป็นลบ เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งของรถ ณ จุดที่ความเร็วถึงศูนย์จะมีระยะทางเป็นค่าสูงสุดจากตำแหน่งเริ่มต้น หลังจากเวลานี้ ความเร็วจะกลายเป็นลบและรถจะถอยหลัง การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้เช่นเดียวกับค่าต่ำสุด โดยทำให้รถในตอนแรกมีความเร็วเป็นลบมากแต่มีความเร่งเป็นบวกตรงกันข้ามกับกรณีของค่าสูงสุด
ลิมิต[แก้]
สามารถจะเขียนลิมิตเพียงลิมิตเดียวแทนอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง[3][4] อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจมีอยู่แม้ว่าอนุพันธ์สามัญอันดับสองจะไม่มีก็ตาม
นิพจน์ทางขวาสามารถเขียนเป็นผลหารเชิงผลต่างของผลหารเชิงผลต่างได้ดังนี้ลิมิตนี้สามารถมองได้เป็นรูปที่ต่อเนื่องของผลต่างอันดับสองของลำดับ
อย่างไรก็ตาม การที่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ไม่ได้หมายว่าฟังก์ชัน นั้นมีอนุพันธ์อันดับสอง ลิมิตข้างต้นให้ความเป็นไปได้ในการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง แต่ไม่ใช่นิยาม ตัวอย่างแย้ง เช่น ฟังก์ชันเครื่องหมาย ซึ่งนิยามว่าฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองที่ หาค่าไม่ได้ แลิมิตข้างต้นหาค่าได้ที่
การประมาณกำลังสอง[แก้]
เช่นเดียวกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการประมาณเส้นตรง, อนุพันธ์อันดับสองก็เกี่ยวข้องกับการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชันกำลังสองซึ่งมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองที่เหมือนกับของ f ที่จุดหนึ่ง ๆ สูตรของการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของ f รอบ ๆ จุด x = a คือการประมาณกำลังสองคือพหุนามเทย์เลอร์อันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = a
ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง[แก้]
สูตรสำหรับค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสองสามารถหาได้จากการผสมกันต่าง ๆ ของเงื่อนไขขอบ เช่น สมมุติให้ และเงื่อนไขขอบดิริชเลต์เอกพันธ์ุ (เช่น โดยที่ v เป็นเวกเตอร์เฉพาะ) ค่าเฉพาะเป็น และเวกเตอร์เฉพาะที่สอดคล้องกัน (เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันเฉพาะ ) คือ จะได้ เมื่อ
สำหรับกรณีอื่น ๆ ที่เป็นที่รู้จัก ดูที่ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง
การวางนัยทั่วไปสู่มิติที่สูงขึ้น[แก้]
เมทริกซ์เฮสเซียน[แก้]
อนุพันธ์อันดับสองวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงกว่าผ่านแนวคิดของ อนุพันธ์ย่อยอันดับสอง สำหรับฟังก์ชัน f: R3 → R เหล่านี้จะรวมอนุพันธ์ย่อยลำดับที่สองสามอนุพันธ์ดังนี้และอนุพันธ์ย่อยผสมหากภาพและโดเมนของฟังก์ชันมีศักย์ทั้งคู่ สิ่งที่กล่าวมานี้นี้จะรวมกันเป็นกันเป็นเมทริกซ์สมมาตร ที่เรียกว่าเมทริกซ์เฮสเซียน ค่าเฉพาะ ของเมทริกซ์นี้สามารถนำไปใช้ในการการทดสอบอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันหลายตัวแปร (ดูเพิ่มที่ การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง)
ตัวดำเนินการลาปลาส[แก้]
การวางนัยทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุพันธ์อันดับสองคือตัวดำเนินการลาปลาส เป็นตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียล (หรือ ) ที่กำหนดโดยลาปลาเซียนของฟังก์ชันเท่ากับไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ และรอยเมทริกซ์เฮสเซียน
ดูเพิ่ม[แก้]
- ความเชิร์ป อนุพันธ์อันดับสองของเฟสขณะหนึ่ง
- ผลต่างอันตะ ใช้ในการประมาณอนุพันธ์อันดับสอง
- การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง
- ความสมมาตรของอนุพันธ์อันดับสอง
อ้างอิง[แก้]
- ↑ "Content - The second derivative". amsi.org.au. สืบค้นเมื่อ 2020-09-16.
- ↑ 2.0 2.1 "Second Derivatives". Math24 (ภาษาอังกฤษแบบอเมริกัน). สืบค้นเมื่อ 2020-09-16.
- ↑ A. Zygmund (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press. pp. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.
- ↑ Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. p. 1. ISBN 0-8247-9230-0.
อ่านเพิ่มเติม[แก้]
สิ่งพิมพ์[แก้]
- Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
- Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
- Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
- Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
- Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
- Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
- Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
- Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0
หนังสือออนไลน์[แก้]
- Crowell, Benjamin (2003), Calculus
- Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
- Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
- Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
- Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2006-04-15
- Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
- Strang, Gilbert (1991), Calculus
- Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2005-09-11
- Wikibooks, Calculus