รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a , b และ c ในทางเรขาคณิต สูตรของเฮรอน หรือ สูตรของเฮโร (อังกฤษ : Heron's formula) จะจัดรูปให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม (triangle ) อยู่ในรูปของความยาวด้านของทั้งสามด้าน
a
,
{\displaystyle a,}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
s
{\displaystyle s}
semiperimeter ) จะได้ว่า
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}
A
{\displaystyle A}
[ 1]
A
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
สูตรข้างต้นถูกตั้งชื่อตามวิศวกรในคริสต์ศตวรรษที่ 1 ซึ่งมีชื่อว่า เฮรอนแห่งอะเล็กซานเดรีย (หรือเฮโร) ซึ่งผลงานของเขามีชื่อว่า เมตริกา (Metrica ) ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะรู้จักกันมานานหลายศตวรรษแล้วก็ตาม
กำหนดให้
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
a
=
4
,
{\displaystyle a=4,}
b
=
13
{\displaystyle b=13}
c
=
15
{\displaystyle c=15}
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
=
{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)=}
1
2
(
4
+
13
+
15
)
=
16
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(4+13+15)=16}
A
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
=
16
⋅
(
16
−
4
)
⋅
(
16
−
13
)
⋅
(
16
−
15
)
=
16
⋅
12
⋅
3
⋅
1
=
576
=
24
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24\end{aligned}}}
จากตัวอย่างนี้ ความยาวด้านและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นจำนวนเต็ม ทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียน ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาว ของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ ทั้งหมด อย่างไรก็ตามสูตรของเฮรอนจะใช้ได้ดี ในกรณีที่ความยาวด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขึ้นไปไม่ใช่จำนวนเต็ม
[ แก้ ] สูตรของเฮรอนยังสามารถเขียนในรูปของความยาวด้านเพียงอย่างเดียว แทนที่จะใช้ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนั้นสามารถทำได้ในหลายวิธี ดังนี้
A
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
=
1
4
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
=
1
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
=
1
4
4
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
=
1
4
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\end{aligned}}}
หลังจากจัดนิพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว พจน์ที่อยู่ในรากที่สองจะเป็นพหุนามกำลังสองของความยาวด้านแต่ละด้านยกกำลังสอง ได้แก่
a
2
,
{\displaystyle a^{2},}
b
2
{\displaystyle b^{2}}
c
2
{\displaystyle c^{2}}
ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันนี้ สามารถจัดรูปได้โดยใช้ Cayley–Menger determinant [ 2]
−
16
A
2
=
|
0
a
2
b
2
1
a
2
0
c
2
1
b
2
c
2
0
1
1
1
1
0
|
{\displaystyle -16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}
สูตรข้างต้นนั้นได้ยกย่องให้เป็นสูตรของเฮรอน (หรือเฮโร) แห่งอะเล็กซานเดรีย ( ราว ค.ศ. 60) [ 3] เมตริกา (Metrica) ของเขา นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ โทมัส ฮีธ ได้เสนอว่า อาร์คิมิดีส รู้สูตรนี้มาก่อนถึงสองศตวรรษ [ 4] Metrica คือหนังสือที่เป็นการรวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในโลกยุคโบราณ จึงเป็นไปได้ที่สูตรดังกล่าวอาจมีอายุก่อนการอ้างอิงที่ให้ไว้ในผลงานนั้น [ 5]
สูตรที่คล้ายกับของเฮรอน คือ
A
=
1
2
a
2
c
2
−
(
a
2
+
c
2
−
b
2
2
)
2
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}
สูตรนี้ถูกค้นพบโดยชาวจีน ได้รับการตีพิมพ์ใน Mathematical Treatise in Nine Sections [ 6]
มีหลายวิธีในการพิสูจน์สูตรของเฮรอน เช่น การใช้ตรีโกณมิติ ดังด้านล่าง หรือการใช้วงกลมที่แนบในและแนบนอกรูปสามเหลี่ยม[ 7] [ 8]
[ แก้ ] จากข้อพิสูจน์สมัยใหม่ซึ่งใช้พีชคณิต มีความแตกต่างจากหลักฐานที่เฮรอนให้ไว้ มีดังนี้ [ 9]
a
,
{\displaystyle a,}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
มุม ตรงข้ามเป็น
α
,
{\displaystyle \alpha ,}
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
กฎของโคไซน์ จะได้ว่า
cos
γ
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a , b และ c จากการพิสูจน์นี้เราจะได้สมการว่า
sin
γ
=
1
−
cos
2
γ
=
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
2
a
b
{\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}}
โดยความสูง ของสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็น
a
{\displaystyle a}
b
sin
γ
{\displaystyle b\sin \gamma }
A
=
1
2
(
base
)
(
altitude
)
=
1
2
a
b
sin
γ
=
a
b
4
a
b
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
=
1
4
−
a
4
−
b
4
−
c
4
+
2
a
2
b
2
+
2
a
2
c
2
+
2
b
2
c
2
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
=
(
a
+
b
+
c
2
)
(
−
a
+
b
+
c
2
)
(
a
−
b
+
c
2
)
(
a
+
b
−
c
2
)
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}
[ แก้ ] สามเหลี่ยมที่มีความสูงยาว h ซึ่งลากตัดฐานยาว c ทำให้ c เป็น d + (c − d ) หลักฐานข้างต้นนี้คล้ายกับหลักฐานที่ Raifaizen ให้ไว้มาก [ 10] ทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้
b
2
=
h
2
+
d
2
{\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}
a
2
=
h
2
+
(
c
−
d
)
2
{\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}
a
2
−
b
2
=
c
2
−
2
c
d
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd}
d
{\displaystyle d}
d
=
−
a
2
+
b
2
+
c
2
2
c
{\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}
โดยสำหรับความสูงของสามเหลี่ยม จะได้
h
2
=
b
2
−
d
2
{\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}}
d
{\displaystyle d}
h
2
=
b
2
−
(
−
a
2
+
b
2
+
c
2
2
c
)
2
=
(
2
b
c
−
a
2
+
b
2
+
c
2
)
(
2
b
c
+
a
2
−
b
2
−
c
2
)
4
c
2
=
(
(
b
+
c
)
2
−
a
2
)
(
a
2
−
(
b
−
c
)
2
)
4
c
2
=
(
b
+
c
−
a
)
(
b
+
c
+
a
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
4
c
2
=
2
(
s
−
a
)
⋅
2
s
⋅
2
(
s
−
c
)
⋅
2
(
s
−
b
)
4
c
2
=
4
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
c
2
{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}}
จากนั้นใช้ผลลัพธ์ที่มาใช้กับสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจากความสูง เป็น
A
=
c
h
2
=
c
2
4
⋅
4
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
c
2
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}
[ แก้ ] นัยสำคัญทางเรขาคณิตของ s − a s − b s − c กฎของโคแทนเจนต์ ถ้า
r
{\displaystyle r}
รัศมี ของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยม ทำให้สามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็น 3 รูปที่มีความสูงเท่ากับ
r
{\displaystyle r}
a
,
{\displaystyle a,}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
A
=
1
2
a
r
+
1
2
b
r
+
1
2
c
r
=
r
s
{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs}
โดยที่
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
+
d
)
{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}
รูปสามเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยม 6 รูป ที่เป็นคู่ที่เท่ากันทั้งหมด 3 คู่ ที่มีความสูง
r
{\displaystyle r}
s
−
a
,
{\displaystyle s-a,}
s
−
b
{\displaystyle s-b}
s
−
c
{\displaystyle s-c}
กฎของโคแทนเจนต์ )
A
=
r
(
s
−
a
)
+
r
(
s
−
b
)
+
r
(
s
−
c
)
=
r
2
(
s
−
a
r
+
s
−
b
r
+
s
−
c
r
)
=
r
2
(
cot
α
2
+
cot
β
2
+
cot
γ
2
)
=
r
2
(
cot
α
2
cot
β
2
cot
γ
2
)
=
r
2
(
s
−
a
r
⋅
s
−
b
r
⋅
s
−
c
r
)
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
r
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}\end{aligned}}}
ขั้นตอนต่อจากข้างต้น คือ
cot
α
2
+
cot
β
2
+
cot
γ
2
=
{\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}={}}
cot
α
2
cot
β
2
cot
γ
2
,
{\displaystyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}},}
triple cotangent identity ) ซึ่งนำมาใช้ได้เนื่องจากผลรวมของครึ่งหนึ่งของมุมคือ
α
2
+
β
2
+
γ
2
=
π
2
{\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}}
เมื่อรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้
A
2
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c)}
ซึ่งทำให้ได้ผลลัพธ์ของพื้นที่ตามมา
[ แก้ ] สูตรของเฮรอนที่ให้ไว้ข้างต้นมีความไม่เสถียรในเชิงตัวเลข (numerically unstable ) สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมเล็กมาก เมื่อใช้เลขแบบจำนวนจุดลอยตัว (floating-point arithmetic ) เพื่อทำให้มีความเสถียรทางตัวเลขจะการจัดเรียงความยาวของด้านเพื่อให้
a
≥
b
≥
c
{\displaystyle a\geq b\geq c}
[ 11] [ 12]
A
=
1
4
(
a
+
(
b
+
c
)
)
(
c
−
(
a
−
b
)
)
(
c
+
(
a
−
b
)
)
(
a
+
(
b
−
c
)
)
{\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}}
จำเป็นต้องมีวงเล็บในสูตรข้างต้นเพื่อป้องกันความไม่เสถียรของตัวเลขในการหาค่า
[ แก้ ] อีกสามสูตรของสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั่วไป จะมีโครงสร้างคล้ายกับสูตรของเฮรอน แต่จะแสดงในรูปของตัวแปรที่ต่างกัน
ขั้นตอนแรก กำหนดให้
m
a
,
{\displaystyle m_{a},}
m
b
{\displaystyle m_{b}}
m
c
{\displaystyle m_{c}}
เส้นมัธยฐาน (medians ) ของด้าน
a
,
{\displaystyle a,}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
σ
=
1
2
(
m
a
+
m
b
+
m
c
)
,
{\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c}),}
[ 13]
A
=
4
3
σ
(
σ
−
m
a
)
(
σ
−
m
b
)
(
σ
−
m
c
)
{\displaystyle A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}}
ถัดไป ให้
h
a
,
{\displaystyle h_{a},}
h
b
{\displaystyle h_{b}}
h
c
{\displaystyle h_{c}}
a
,
{\displaystyle a,}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
H
=
1
2
(
h
a
−
1
+
h
b
−
1
+
h
c
−
1
)
,
{\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )},}
[ 14]
A
−
1
=
4
H
(
H
−
h
a
−
1
)
(
H
−
h
b
−
1
)
(
H
−
h
c
−
1
)
{\displaystyle A^{-1}=4{\sqrt {H{\bigl (}H-h_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{c}^{-1}{\bigr )}}}}
จะได้ว่า ให้
α
,
{\displaystyle \alpha ,}
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
S
=
1
2
(
sin
α
+
sin
β
+
sin
γ
)
{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )}
[ 15] [ 16]
A
=
D
2
S
(
S
−
sin
α
)
(
S
−
sin
β
)
(
S
−
sin
γ
)
=
1
2
D
2
sin
α
sin
β
sin
γ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma ,\end{aligned}}}
โดย
D
{\displaystyle D}
circumcircle )
D
=
a
/
sin
α
=
b
/
sin
β
=
c
/
sin
γ
{\displaystyle D=a/{\sin \alpha }=b/{\sin \beta }=c/{\sin \gamma }}
รูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม (Cyclic quadrilateral) สูตรของเฮรอนเป็นกรณีพิเศษของสูตรของพรหมคุปต์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม (cyclic quadrilateral ) สูตรของเฮรอนและสูตรของพรหมคุปต์ ทั้งสองสูตรเป็นกรณีพิเศษของสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม สูตรของเฮรอนสามารถหาได้จากสูตรของพรหมคุปต์หรือสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ โดยให้ด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมให้เป็นศูนย์
จากสูตรของพรหมคุปต์ให้พื้นที่
K
{\displaystyle K}
cyclic quadrilateral ) ที่มีความยาวด้านเป็น
a
,
{\displaystyle a,}
b
,
{\displaystyle b,}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
K
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
โดย
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
+
d
)
{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}
สูตรของเฮรอนยังเป็นกรณีพิเศษของสูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมู โดยพิจารณาจากด้านเท่านั้น สูตรของเฮรอนได้มาโดยการกหนดให้ด้านขนานที่เล็กกว่าความยาวเป็นศูนย์
สามารถแสดงสูตรของเฮรอนด้วย Cayley–Menger determinant ในรูปของกำลังสองของระยะทาง ระหว่างจุดยอดทั้งสามที่กำหนดให้
A
=
1
4
−
|
0
a
2
b
2
1
a
2
0
c
2
1
b
2
c
2
0
1
1
1
1
0
|
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}}
แสดงให้เห็นถึงความคล้ายกับ Tartaglia's formula สำหรับปริมาตร ของ 3-ซิมเพล็กซ์ หรือทรงสี่หน้า
ข้อสรุปทั่วไปของสูตรของเฮรอนของรูปห้าเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยมที่แนบในในวงกลมถูกค้นพบโดย เดวิด พี. ร็อบบินส์ [ 17]
[ แก้ ] ให้
U
,
{\displaystyle U,}
V
,
{\displaystyle V,}
W
,
{\displaystyle W,}
u
,
{\displaystyle u,}
v
{\displaystyle v}
w
{\displaystyle w}
u
{\displaystyle u}
U
{\displaystyle U}
[ 18]
volume
=
(
−
a
+
b
+
c
+
d
)
(
a
−
b
+
c
+
d
)
(
a
+
b
−
c
+
d
)
(
a
+
b
+
c
−
d
)
192
u
v
w
{\displaystyle {\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}
โดยที่
a
=
x
Y
Z
b
=
y
Z
X
c
=
z
X
Y
d
=
x
y
z
X
=
(
w
−
U
+
v
)
(
U
+
v
+
w
)
x
=
(
U
−
v
+
w
)
(
v
−
w
+
U
)
Y
=
(
u
−
V
+
w
)
(
V
+
w
+
u
)
y
=
(
V
−
w
+
u
)
(
w
−
u
+
V
)
Z
=
(
v
−
W
+
u
)
(
W
+
u
+
v
)
z
=
(
W
−
u
+
v
)
(
u
−
v
+
W
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}
[ แก้ ] นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลม (Spherical geometry ) หรือเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา (hyperbolic plane) อีกด้วย [ 19]
a
,
{\displaystyle a,}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}
S
{\displaystyle S}
tan
2
S
4
=
tan
s
2
tan
s
−
a
2
tan
s
−
b
2
tan
s
−
c
2
{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}
ตามเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา จะได้
tan
2
S
4
=
tanh
s
2
tanh
s
−
a
2
tanh
s
−
b
2
tanh
s
−
c
2
{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}}
↑ Kendig, Keith (2000). "Is a 2000-year-old formula still keeping some secrets?" . The American Mathematical Monthly 107 (5): 402–415. doi :10.1080/00029890.2000.12005213 . JSTOR 2695295 . MR 1763392 . คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม เมื่อ 2024-05-29. สืบค้นเมื่อ 2021-12-27 . ↑ Havel, Timothy F. (1991). "Some examples of the use of distances as coordinates for Euclidean geometry" . Journal of Symbolic Computation 11 (5–6): 579–593. doi :10.1016/S0747-7171(08)80120-4 ↑ Id, Yusuf; Kennedy, E. S. (1969). "A medieval proof of Heron's formula". The Mathematics Teacher 62 (7): 585–587. doi :10.5951/MT.62.7.0585 . JSTOR 27958225 . MR 0256819 . ↑ Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics . Vol. II. Oxford University Press. pp. 321–323. ↑ เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์ , "Heron's Formula " จากแมทเวิลด์ .↑ 秦, 九韶 (1773). "卷三上, 三斜求积" . 數學九章 (四庫全書本) . ↑ "Personal email communication between mathematicians John Conway and Peter Doyle" . 15 December 1997. สืบค้นเมื่อ 25 September 2020 .↑ Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020-09-14). "A Symmetric 3D Proof of Heron's Formula" . The Mathematical Intelligencer (ภาษาอังกฤษ). 43 (2): 37–39. doi :10.1007/s00283-020-09996-8 ISSN 0343-6993 . ↑ Niven, Ivan (1981). Maxima and Minima Without Calculus 7–8 . ↑ Raifaizen, Claude H. (1971). "A Simpler Proof of Heron's Formula". Mathematics Magazine . 44 : 27–28. doi :10.1080/0025570X.1971.11976093 . ↑ Sterbenz, Pat H. (1974-05-01). Floating-Point Computation . Prentice-Hall Series in Automatic Computation (1st ed.). Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice Hall . ISBN 0-13-322495-3 ↑ William M. Kahan (24 March 2000). "Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle" (PDF) . ↑ Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette 87, July 2003, 324–326.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
↑ Mitchell, Douglas W. (2009). "A Heron-type area formula in terms of sines". Mathematical Gazette . 93 : 108–109. doi :10.1017/S002555720018430X . ↑ Kocik, Jerzy; Solecki, Andrzej (2009). "Disentangling a triangle" (PDF) . American Mathematical Monthly . 116 : 228–237. doi :10.1080/00029890.2009.11920932 . ↑ D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.
↑ W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",, pp. 16–17.
↑ Alekseevskij, D. V.; Vinberg, E. B.; Solodovnikov, A. S. (1993). "Geometry of spaces of constant curvature". ใน Gamkrelidze, R. V.; Vinberg, E. B. (บ.ก.). Geometry. II: Spaces of constant curvature . Encycl. Math. Sci. Vol. 29. Springer-Verlag. p. 66. ISBN 1-56085-072-8
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c16927edc6d8a14e62281b0331cde7db8c18bd1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c8852dd846e40434f14cedb19c35004a08b8cc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c758b3919cc3034bca1d63e0506f5108b45cd21)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd202793a39af6fd48df60bf7174e51e70a99710)
