ฟังก์ชันขั้นบันได

ตัวอย่างกราฟของฟังก์ชันขั้นบันได (เส้นสีแดง)

ฟังก์ชันขั้นบันได คือฟังก์ชันบนจำนวนจริงซึ่งเกิดจากการรวมกันระหว่างฟังก์ชันคงตัวจากโดเมนที่แบ่งออกเป็นช่วงหลายช่วง กราฟของฟังก์ชันจะมีลักษณะเป็นส่วนของเส้นตรงหรือรังสีในแนวราบเป็นท่อน ๆ ตามช่วง ในระดับความสูงต่างกัน

นิยาม

ฟังก์ชัน f : R → R จะเรียกว่าฟังก์ชันขั้นบันได ถ้าฟังก์ชัน f สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบนี้ได้

$f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)$ สำหรับทุกจำนวนจริง x

เมื่อ n ≥ 0, α_i เป็นจำนวนจริง (ค่าคงตัว), A_i คือช่วงต่าง ๆ และ χ_A คือฟังก์ชันบ่งชี้ (indicator function) ของช่วง A นั่นคือ

$\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x\in A\\0&{\mbox{if }}x\notin A\\\end{cases}}$

ในนิยามเช่นนี้ ช่วง A_i ต่าง ๆ จะต้องมีสมบัติที่สมมติขึ้นสองประการดังนี้

1. ช่วงต่าง ๆ จะต้องไม่มีส่วนร่วมต่อกัน นั่นคือ A_i ∩ A_j = ∅ โดยที่ i ≠ j
2. ยูเนียนของช่วงทุกช่วง คือเซตจำนวนจริงทั้งเซต นั่นคือ ∪_i A_i = R

ในกรณีที่สมบัติของฟังก์ชันเริ่มต้นไม่เป็นไปตามข้อสันนิษฐาน เช่นช่วงซ้อนกัน หรือยูเนียนแล้วแต่ไม่ครบเซตจำนวนจริง เราอาจเลือกช่วงใหม่ที่เทียบเท่าอันทำให้มีสมบัติดังกล่าวได้ ตัวอย่างเช่น กำหนดให้ฟังก์ชันขั้นบันไดนี้

$f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}\,\!$

สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

$f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}$

ซึ่งผลลัพธ์จากฟังก์ชันจะยังคงเหมือนเดิม

ตัวอย่าง

กราฟของฟังก์ชันเฮฟวีไซด์

กราฟของฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก

• ฟังก์ชันคงตัวเป็นตัวอย่างอย่างง่ายของฟังก์ชันขั้นบันได ซึ่งประกอบด้วยช่วงเพียงช่วงเดียวคือ A₀ = R
• ฟังก์ชันเฮฟวีไซด์ (Heaviside function) เป็นฟังก์ชันขั้นบันไดหนึ่งที่สำคัญ เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังการทดสอบสัญญาณไฟฟ้า เช่นที่ใช้ในการตอบสนองขั้นบันไดของระบบพลวัต
• ฟังก์ชันสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangular function) ซึ่งเป็นฟังก์ชันรถตู้แบบบรรทัดฐาน (normalized boxcar function) เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันขั้นบันได ใช้เพื่อเป็นแบบจำลองของพัลส์หนึ่งหน่วย

ในทางตรงข้าม

• ฟังก์ชันภาคจำนวนเต็ม ไม่ถือว่าเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดตามนิยามที่ระบุในบทความนี้ เพราะมีจำนวนช่วงขั้นเป็นอนันต์ (n → ∞) ไม่เป็นจำนวนจำกัด

สมบัติ

• ผลรวมและผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดสองฟังก์ชัน จะให้ผลเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดอีกฟังก์ชันหนึ่ง และผลคูณของฟังก์ชันขั้นบันไดกับจำนวนคงตัวก็ยังคงเป็นฟังก์ชันขั้นบันได จากกรณีทั้งสองทำให้ฟังก์ชันขั้นบันไดก่อร่างพีชคณิตขึ้นมาเหนือจำนวนจริง
• ฟังก์ชันขั้นบันไดมีจำนวนช่วงเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้น ถ้าช่วง A_i ต่าง ๆ ซึ่ง i = 0, 1, …, n ตามนิยามข้างต้นไม่ทับซ้อนซึ่งกันและกัน และยูเนียนของช่วงทั้งหมดเป็นจำนวนจริง จะได้ว่า f (x) = α_i สำหรับทุกค่าของ x ∈ A_i
• ปริพันธ์เลอเบกของฟังก์ชันขั้นบันได $\textstyle f=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}\,$ คือ $\textstyle \int \!f\,dx=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i})$ เมื่อ $\ell (A)$ คือความยาวของช่วง A และในกรณีนี้เราสมมติว่าช่วง A_i ทั้งหมดมีความยาวจำกัด ข้อเท็จจริงคือความเท่ากันนี้สามารถใช้เป็นขั้นตอนแรกในการหาปริพันธ์เลอเบก