ผู้ใช้:สุริยันต์ ณ ลอนดอน/ทดลองเขียน1

ในทางคณิตศาสตร์ ค่ารายงวด (อังกฤษ: annuity) ในชีวิตประจำวัน เราจะพบเห็นการรับหรือการจ่ายเงินเป็นงวด ๆ เช่น การฝากเงินในธนาคารเป็นประจำทุกเดือน การซื้อของแบบผ่อนส่ง การจ่ายค่าเช่าบ้านรายเดือน การจ่ายประกันรายปีการรับเงินเดือนทุกเดือน ซึ่งจะเรียกการรับหรือการจ่ายเงินลักษณะนี้ว่า การรับหรือจ่ายค่ารายงวด ซึ่งมี 3 ลักษณะ ดังนี้

1. รับหรือจ่ายเท่ากันทุกงวด
2. รับหรือจ่ายติดต่อกันทุกงวด
3. รับหรือจ่ายตอนต้นงวดหรือสิ้นงวด

ตัวอย่างการรับหรือจ่ายตามงวด เช่น การนำเงินไปฝากธนาคารทุกต้นปี ปีละ 20,000 บาท เป็นเวลา 6 ปี หรือการซื้อรถยนต์แบบผ่อนส่ง โดยทำสัญญากับผู้จำหน่ายรถยนต์ว่าจะผ่อนชำระทุกสิ้นเดือน เดือนละ 9,000 บาท เป็นเวลา 5 ปี

การหาเงินรวมของค่ารายงวด

เมื่อมีการรับหรือจ่ายค่ารายงวดติดต่อกันเป็นระยะเวลาหนึ่ง โดยกำหนดอัตราดอกเบี้ยคงที่ตลอดระยะเวลา ดังกล่าว เมื่อสิ้นสุดระยะเวลาที่กำหนด เงินรวมของค่ารายงวดทั้งหมดจะเท่ากับผลบวกของมูลค่าอนาคตของค่ารายงวดแต่ละ งวด การคำนวณหาเงินรวมทั้งหมดจะแบ่งเป็น 2 กรณี ดังนี้

1. ค่ารายงวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน $R$ บาท รวมทั้งหมด $n$ งวด และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น $i$% ให้ $r={\frac {i}{100}}$
   จะได้ $S_{n}={\frac {R(1+r)\cdot ((1+r)^{n}-1)}{r}}$
2. ค่ารายงวดที่รับหรือจ่ายตอนสิ้นงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน $R$ บาท รวมทั้งหมด $n$ งวด และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น $i$% ให้ $r={\frac {i}{100}}$
   จะได้
   $S_{n}={\frac {R((1+r)^{n}-1)}{r}}$

ค่ารายงวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด

แผนภาพแสดงค่ารายงวดแบบต้นงวด

พิจารณาการรับหรือจ่ายเงินแต่ละงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน $R$ บาท ซึ่งเริ่มรับหรือจ่ายเงินตอนต้นงวดรวมทั้งหมด $n$ งวด และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น $i$% ให้ $r={\frac {i}{100}}$ จะได้แผนภาพค่ารายงวดดังภาพ

จะได้เงินรวมเมื่อสิ้นปีที่ $n$ คือ

$S_{n}=R(1+r)+R(1+r)^{2}+R(1+r)^{3}+\cdots +R(1+r)^{n}$

ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิต ที่มีพจน์แรกคือ $R(1+r)$ และมีอัตรส่วนร่วมคือ $(1+r)$

จากสูตร $S_{n}={\frac {a_{1}(1-r)^{n}}{1-r}}$

จะได้ $S_{n}={\frac {R(1+r)\cdot (1-(1+r)^{n})}{1-(1+r)}}$

$S_{n}={\frac {R(1+r)\cdot (1-(1+r)^{n})}{-r}}$

$S_{n}={\frac {R(1+r)\cdot ((1+r)^{n}-1)}{r}}$

ค่ารายงวดที่รับหรือจ่ายตอนสิ้นงวด

แผนภาพแสดงค่ารายงวดแบบสิ้นงวด

พิจารณาการรับหรือจ่ายเงินแต่ละงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน $R$ บาท ซึ่งเริ่มรับหรือจ่ายเงินตอนสิ้นงวดรวมทั้งหมด $n$ งวด และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น $i$% ให้ $r={\frac {i}{100}}$ จะได้แผนภาพค่ารายงวดดังภาพ

จะได้เงินรวมเมื่อสิ้นปีที่ $n$ คือ

$S_{n}=R+R(1+r)+R(1+r)^{2}+R(1+r)^{3}+\cdots +R{(1+r)}^{n-1}$

ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิต ที่มีพจน์แรกคือ $R$ และมีอัตรส่วนร่วมคือ $(1+r)$

จากสูตร $S_{n}={\frac {a_{1}(1-r)^{n}}{1-r}}$

จะได้ $S_{n}={\frac {R(1-(1+r)^{n})}{1-(1+r)}}$

$S_{n}={\frac {R(1-(1+r)^{n})}{-r}}$

$S_{n}={\frac {R((1+r)^{n}-1)}{r}}$

อัตราดอกเบี้ยรายงวดแบ่งเป็นเดือน

จากสูตรของดอกเบี้ยทบต้น

$S=P{(1+{\frac {r}{k}})}^{n\cdot k}$

โดยที่

$S$ คือยอดเงินรวมหลังจากฝากครบ

$P$ คือเงินต้น

$n$ ระยะเวลาปี

$r$ คืออัตราดอกเบี้ยต่อปี (4% หรือ 0.04)

$k$ คือจำนวนครั้งที่มีการทบต้นใน 1 ปี

จะได้ว่า

1. ค่ารายงวดที่รับหรือจ่ายตอนต้นงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน $R$ บาท รวมทั้งหมด $n$ งวด และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น $i$% ให้ $r={\frac {i}{100}}$
   จะได้ $S_{n}={\frac {R(1+{\frac {r}{k}})\cdot ({(1+{\frac {r}{k}})}^{n\cdot k}-1)}{\frac {r}{k}}}$
2. ค่ารายงวดที่รับหรือจ่ายตอนสิ้นงวด โดยที่แต่ละงวดเป็นเงิน $R$ บาท รวมทั้งหมด $n$ งวด และอัตราดอกเบี้ยต่องวดเป็น $i$% ให้ $r={\frac {i}{100}}$
   จะได้
   $S_{n}={\frac {R({(1+{\frac {r}{k}})}^{n\cdot k}-1)}{\frac {r}{k}}}$

ตารางจำนวนครั้งที่มีการทบต้นใน 1 ปี (k)

จากสูตร $n\cdot k=12$

โดยที่

$n$ คือจำนวนเดือน

จำนวนเดือน	ค่า k	การหาค่า k
1	12 ครั้ง	$k={\frac {12}{1}}$ $k=12$
2	6 ครั้ง	$k={\frac {12}{2}}$ $k=6$
3	4 ครั้ง	$k={\frac {12}{3}}$ $k=4$
4	3 ครั้ง	$k={\frac {12}{4}}$ $k=3$
6	2 ครั้ง	$k={\frac {12}{6}}$ $k=2$
12	1 ครั้ง	$k={\frac {12}{12}}$ $k=1$

ตัวอย่าง

• ธนาคาร ก เริ่มฝากเงินด้วยเงินต้น 100,000,000,000 บาท กับธนาคารกลาง ได้รับดอกเบี้ย 4% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกไตรมาส (ทุก 3 เดือน) หาเงินรวมเมื่อฝากครบ 10 ปี