ผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียน $\scriptstyle A\times B$ ของเซต $\scriptstyle A=\{x,y,z\}$ และ $\scriptstyle B=\{1,2,3\}$

ในวิชาคณิตศาสตร์ ผลคูณคาร์ทีเซียนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการกับเซตหลายเซตได้ผลเป็นเซต (หรือ เซตผลคูณ) นั่นคือสำหรับเซต A และ B ผลคูณคาร์ทีเซียน A × B เป็นเซตของทุกคู่อันดับ (a, b) ที่ a ∈ A และ b ∈ B

กรณีที่ง่ายที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียนคือจัตุรัสคาร์ทีเซียน ซึ่งดำเนินการกับเซตสองเซตได้เซตหนึ่งเซต เราสามารถสร้างตารางได้โดยหาผลคูณคาร์ทีเซียนของ เซตของแถว กับ เซตของหลัก ถ้าหาผลคูณคาร์ทีเซียน แถว × หลัก เซลล์ของตารางจะประกอบด้วยคู่อันดับในรูปแบบ (ค่าของแถว, ค่าของหลัก)

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต n เซตสามารถแสดงในรูปทูเพิล n มิติ โดยสมาชิกแต่ละตัวคือค่าของสมาชิกจากแต่ละเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามแนวคิดของ เรอเน เดการ์ต ผู้ริเริ่มวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์

ตัวอย่าง

สำรับไพ่

ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพคือไพ่ป๊อก เซตเลขไพ่ {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} มีสมาชิก 13 ตัว และเซตหน้าไพ่ {♠, ♥, ♦, ♣} มีสมาชิก 4 ตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสองคือเซตคู่อันดับ 52 คู่ ซึ่งสัมพันธ์กับไพ่ทั้ง 52 ใบ

เลขไพ่ × หน้าไพ่ ทำให้เกิดเซต {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)} หรือ

หน้าไพ่ × เลขไพ่ ทำให้เกิดเซต {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

ระบบพิกัดสองมิติ

ตัวอย่างจากวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์คือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นผลลัพธ์จากการหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต X และ Y ที่หมายถึงจุดบนแกน x และแกน y ตามลำดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ X × Y ผลคูณนี้เป็นเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่ละคู่อันดับมีสมาชิกอันดับที่หนึ่งเป็นสมาชิกของ X และสมาชิกอันดับที่สองเป็นสมาชิกของ Y (แต่ละคู่อันดับประกอบเป็นระนาบ x–y ทั้งระนาบ) ในทางกลับกัน ผลคูณคาร์ทีเซียนอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Y × X โดยสมาชิกของผลคูณนี้มีสมาชิกอันดับที่หนึ่งจากเซต Y และสมาชิกอันดับที่สองจากเซต X ผลคูณคาร์ทีเซียนจึงไม่มีสมบัติการสลับที่

$X\times Y=\{\,(x,y)\mid x\in X\ \land \ y\in Y\,\}$

$Y\times X=\{\,(y,x)\mid y\in Y\ \land \ x\in X\,\}$

$X\times Y\neq Y\times X$

การประยุกต์ใช้ทั่วไปในทฤษฎีเซต

นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนตามหลักการของทฤษฎีเซตเป็นผลของนิยามของคู่อันดับ นิยามของคู่อันดับที่ใช้โดยทั่วไป คือนิยามของ Kuratowski ดังนี้ $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$ ข้อสังเกตภายใต้นิยามนี้ $X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))$ โดย ${\mathcal {P}}$ เป็น เพาเวอร์เซต เพราะฉะนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตใดๆ ใน ZFC เป็นผลจากสัจพจน์แห่งการจับคู่ ยูเนียน เพาเวอร์เซต และ การเจาะจง เพราะว่าฟังก์ชัน มักนิยามเป็นกรณีพิเศษของ ความสัมพันธ์ และความสัมพันธ์มักนิยามเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตสำคัญมากกว่านิยามอื่น ๆ เป็นส่วนใหญ่

การคูณคาร์ทีเซียนไม่มีสมบัติการสลับที่และเปลี่ยนหมู่

ให้ $A$ $B$ และ $C$ เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียน $A\times B$ ไม่สามารถสลับที่ได้ นั่นคือ $A\times B\neq B\times A$ เพราะคู่อันดับถูกสลับอันดับ เว้นแต่เงื่อนไข

• $A=B$
• $A$เป็นเซตว่าง
• $B$เป็นเซตว่าง

เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อ

ตัวอย่าง

$A=\{1,2\}$ และ $B=\{1,3\}$

$A\times B=\{1,2\}\times \{1,3\}=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}$

$B\times A=\{1,3\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(3,1),(3,2)\}$

$A\times B\neq B\times A$

$A=B=\{1,2\}$

$A\times B=B\times A=\{1,2\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$

$A=\{1,2\}$ และ $B=\{\}$

$A\times B=\{1,2\}\times \{\}=\{\}$

$B\times A=\{\}\times \{1,2\}=\{\}$

$A\times B=B\times A$

ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยทั่วไปไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เว้นแต่เซตใดเซตหนึ่งเป็นเซตว่าง เพราะการเปลี่ยนหมู่เปลี่ยนลำดับการสร้างคู่อันดับ

ตัวอย่าง

$A=\{a\}$ $B=\{b\}$ และ $C=\{c\}$

$(A\times B)\times C=(\{a\}\times \{b\})\times \{c\}=\{(a,b)\}\times \{c\}=\{((a,b),c)\}$

$A\times (B\times C)=\{a\}\times (\{b\}\times \{c\})=\{a\}\times \{(b,c)\}=\{(a,(b,c))\}$

$(A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)$

สมบัติเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชันและยูเนียน

ให้ $A$ $B$ $C$ และ $D$ เป็นเซต

การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหาอินเตอร์เซกชัน ได้ผลลัพธ์เท่ากับการหาอินเตอร์เซกชันก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

$(A\times C)\cap (B\times D)=(A\cap B)\times (C\cap D)$

แต่การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหายูเนียน ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับการหายูเนียนก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

$(A\times C)\cup (B\times D)\neq (A\cup B)\times (C\cup D)$

$(A\times C)\cup (B\times D)\subseteq (A\cup B)\times (C\cup D)$

มีกฎเกี่ยวกับการแจกแจงอื่น ๆ ดังนี้:

$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$

$A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$

$(A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})$

สมบัติเกี่ยวกับเซตย่อยได้แก่:

ถ้า $A\subseteq B$ แล้ว $A\times C\subseteq B\times C$

ถ้าทั้ง$A$และ$B$ ไม่เป็นเซตว่าง แล้ว $(A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D)$

ภาวะเชิงการนับ

ภาวะเชิงการนับของเซตคือจำนวนสมาชิกของเซต เช่น กำหนดเซตสองเซต $A=\{m,n\}$ และ $B=\{0,1\}$ ทั้งเซต $A$ และเซต $B$ ต่างประกอบด้วยสมาชิกเซตละสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตนี้ที่เขียนแทนด้วย $A\times B$ เป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกดังนี้:

$A\times B=\{(m,0),(m,1),(n,0),(n,1)\}$

สมาชิกแต่ละตัวของ $A$ จับคู่กับสมาชิกแต่ละตัวของ $B$ แต่ละคู่เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตผลลัพธ์ จำนวนของค่าในแต่ละหลายสิ่งอันดับเท่ากับจำนวนเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน สำหรับกรณีตัวอย่าง ค่านี้เป็น 2 ภาวะเชิงการนับของเซตผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของภาวะเชิงการนับของทุกเซตที่นำมาดำเนินการ นั่นคือ

$|A\times B|=|A||B|$

และสามารถแสดงโดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า

$|A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times ...\times A_{n}|=|A_{1}||A_{2}||A_{3}|...|A_{n}|$

ภาวะเชิงการนับของ $A\times B$ เป็นอนันต์ถ้าเซต $A$ หรือเซต $B$ เซตใดเซตหนึ่งมีสมาชิกอนันต์และอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง

จัตุรัสคาร์ทีเซียนและกำลังคาร์ทีเซียน

จัตุรัสคาร์ทีเซียน (หรือ ผลคูณคาร์ทีเซียนเชิงคู่) ของเซต X คือผลคูณคาร์ทีเซียน X² = X × X ตัวอย่างคือระนาบ R² = R × R เมื่อ R เป็นเซตของจำนวนจริง ซึ่งหมายถึงทุกจุด(x,y) ที่ x และ y เป็นจำนวนจริง (ดูหน้า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน)