คู่อันดับ

ในคณิตศาสตร์ คู่อันดับ (a, b) เป็นคู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ โดย a เรียกว่า สมาชิกตัวหน้า และ b เรียกว่า สมาชิกตัวหลัง คู่อันดับอาจจะมองเป็นพิกัดก็ได้ สำหรับคู่อันดับนั้น อันดับมีความสำคัญ นั่นคือคู่อันดับ (a, b) แตกต่างจากคู่อันดับ (b, a) ยกเว้นกรณีที่ a = b ลักษณะนี้ไม่เหมือนกับคู่ไม่อันดับ ซึ่งคู่ไม่อันดับ {a, b} เท่ากับคู่ไม่อันดับ {b, a}

คู่อันดับยังอาจมองเป็น ทูเพิล, เวกเตอร์ 2 มิติ หรือ ลำดับความยาว 2 ก็ได้ เนื่องจากคู่อันดับสามารถมีสมาชิกเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็ตาม สมาชิกของคู่อันดับก็อาจจะเป็นคู่อันดับด้วยเช่นกัน ทำให้สามารถนิยาม n สิ่งอันดับ โดยนิยามแบบเวียนเกิดได้ ตัวอย่างเช่น สามสิ่งอันดับ (a,b,c) สามารถนิยามโดย (a, (b,c)) หรือก็คือการนำคู่อันดับซ้อนกันไปเรื่อยๆ

ผลคูณคาร์ทีเซียน และ ความสัมพันธ์ทวิภาค (ซึ่งรวมถึงฟังก์ชัน) สามารถนิยามด้วยคู่อันดับได้ด้วยเช่นเดียวกัน

หลักโดยทั่วไป

กำหนดคู่อันดับ $(a_{1},b_{1})$ และ $(a_{2},b_{2})$ เป็นคู่อันดับใด ๆ คุณสมบัติของคู่อันดับคือ

(a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})

ก็ต่อเมื่อ

a_{1}=a_{2}

และ

b_{1}=b_{2}.\!

เซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สมาชิกตัวหน้ามาจากเซต X และสมาชิกตัวหลังมาจากเซต Y เรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของ X และ Y หรืออาจเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้ว่า X×Y ซึ่งความสัมพันธ์ทวิภาคจากเซต X ไปเซต Y ใด ๆ จะเป็นเซตย่อยของ X×Y

ในกรณีที่วงเล็บได้นำมาใช้เพื่อจุดประสงค์อื่นแล้ว เช่นใช้แทนช่วงเปิดบนเส้นจำนวน ก็อาจใช้สัญลักษณ์วงเล็บ $\left\langle a,b\right\rangle$ แทน $(a,b)$ ตามปกติได้

การนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซต

เนื่องจากทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่าเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ ดังนั้นวัตถุทางคณิตศาสตร์ใด ๆ ก็จะต้องสามารถนิยามภายใต้เซตได้ รวมถึงคู่อันดับด้วย^[1] โดยได้มีนิยามหลากหลายรูปแบบในการนิยามคู่อันดับขึ้นมาจากเซต

นิยามของ Wiener

Norbert Wiener ได้เสนอนิยามคู่อันดับโดยใช้ทฤษฎีเซตเป็นคนแรกในปี 1914^[2]

\left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.

เขายังสังเกตว่าด้วยนิยามนี้สามารถนำไปใช้กับการนิยามประเภทให้อยู่ในรูปของเซตได้อีกด้วย

Wiener ใช้ {{b}} แทนที่ {b} เพื่อให้นิยามนี้เข้ากันได้กับทฤษฎีประเภท ซึ่งมีข้อกำหนดว่าสมาชิกทุกตัวในคลาสต้องเป็น "ประเภท" เดียวกัน หรือนั่นก็คือเพื่อทำให้ $\{\{b\}\}$ เป็นประเภทเดียวกันกับ $\{\{a\},\emptyset \}$

นิยามของ Hausdorff

ในเวลาใกล้เคียงกันกับการเสนอนิยามคู่อันดับของ Wiener ในปี 1914 Felix Hausdorff ก็ได้นำเสนอนิยามด้วยเช่นกัน

(a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}

โดยที่ 1 และ 2 ต้องแตกต่างจาก a และ b^[3]

นิยามของ Kuratowski

ในปี 1921 Kazimierz Kuratowski ได้เสนอนิยามคู่อันดับซึ่งปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันอย่างแพร่หลาย^[4] ว่า

(a,\ b)_{K}\ :=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.

มีการใช้นิยามนี้แม้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังเหมือนกัน

(x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}

เมื่อกำหนดคู่อันดับ p การทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหน้าของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ

\forall {Y}{\in }{p}:{x}{\in }{Y}.

ในกรณีที่ต้องการทดสอบว่า x เป็นสมาชิกตัวหลังของ p หรือไม่ สามารถหาได้จากค่าความจริงของ

(\exists {Y}{\in }{p}:{x}{\in }{Y})\land (\forall {Y_{1},Y_{2}}{\in }{p}:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow ({x}{\notin }{Y_{1}}\lor {x}{\notin }{Y_{2}})).

สังเกตว่าเงื่อนไขนี้สามารถใช้ได้ในกรณีที่สมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังเหมือนกันด้วย เพราะประพจน์เชื่อม (conjunct) $(\forall {Y_{1},Y_{2}}{\in }{p}:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow ({x}{\notin }{Y_{1}}\lor {x}{\notin }{Y_{2}}))$ จะเป็นจริงเสมอจากการที่ Y₁ ≠ Y₂ ให้ค่าความจริงเป็นเท็จ ส่งผลให้เหลือแต่การทดสอบว่ามีสมาชิกตัวหลังในสมาชิกของเซตหรือไม่ หากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหน้าออกมาจากคู่อันดับ p สามารถหาได้จาก

\pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p

และหากต้องการจะนำค่าสมาชิกตัวหลังออกมาจากคู่อันดับ p สามารถหาได้จาก

\pi _{2}(p)=\bigcup \{x\in \bigcup p\mid \bigcup p\not =\bigcap p\rightarrow x\notin \bigcap p\}

อ้างอิง

↑ Quine has argued that the set-theoretical implementations of the concept of the ordered pair is a paradigm for the clarification of philosophical ideas (see "Word and Object", section 53). The general notion of such definitions or implementations are discussed in Thomas Forster "Reasoning about theoretical entities".
↑ Wiener's paper "A Simplification of the logic of relations" is reprinted, together with a valuable commentary on pages 224ff in van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979-1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.). van Heijenoort states the simplification this way: "By giving a definition of the ordered pair of two elements in terms of class operations, the note reduced the theory of relations to that of classes".
↑ cf introduction to Wiener's paper in van Heijenoort 1967:224
↑ cf introduction to Wiener's paper in van Heijenoort 1967:224. van Heijenoort observes that the resulting set that represents the ordered pair "has a type higher by 2 than the elements (when they are of the same type)"; he offers references that show how, under certain circumstances, the type can be reduced to 1 or 0.

[1] Quine has argued that the set-theoretical implementations of the concept of the ordered pair is a paradigm for the clarification of philosophical ideas (see "Word and Object", section 53). The general notion of such definitions or implementations are discussed in Thomas Forster "Reasoning about theoretical entities".

[2] Wiener's paper "A Simplification of the logic of relations" is reprinted, together with a valuable commentary on pages 224ff in van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1979-1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.). van Heijenoort states the simplification this way: "By giving a definition of the ordered pair of two elements in terms of class operations, the note reduced the theory of relations to that of classes".

[3] troduction to Wiener's paper in van Heijenoort 1967:224

[4] troduction to Wiener's paper in van Heijenoort 1967:224. van Heijenoort observes that the resulting set that represents the ordered pair "has a type higher by 2 than the elements (when they are of the same type)"; he offers references that show how, under certain circumstances, the type can be reduced to 1 or 0.

[1]

[2]

[3]

[4]