จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (อังกฤษ: Product measure) ในทฤษฎีเมเชอร์ กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่า "ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ" (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้างเซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณจากสองปริภูมิทอพอโลยีนั่นเอง
นิยามทางคณิตศาสตร์[แก้]
กำหนด
และ
เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ
ดังนี้
คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ
และ ![{\displaystyle X_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad47c14b8a092f182512e76c96638aea6e3bea1)
- พีชคณิตซิกมาผลคูณ:
คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี
เป็นสมาชิก โดย
และ
.
- เมเชอร์ผลคูณ:
นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ
เมื่อ
![{\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae64f2519e35f151b4663414a15e76906faf1c8)
โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า
มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ
![{\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb6ce09bea17e4b6af5019eac32aaa0d5c16177)
สำหรับทุก ๆ เซตหาเมเชอร์ได้ E โดย Ex = {y∈X2| (x,y) ∈E}, และ Ey = {x∈X1| (x,y) ∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.