ทฤษฎีเซต
 | บทความนี้ยังต้องการเพิ่มแหล่งอ้างอิงเพื่อพิสูจน์ความถูกต้อง |
ทฤษฎีเซต เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเรื่องเซต แนวคิดพื้นฐานของเซตคือการรวบรวมวัตถุไว้ด้วยกัน ซึ่งได้พัฒนาเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แทบทุกอย่างในคณิตศาสตร์สามารถนิยามได้โดยใช้เซต
การศึกษาเซตเริ่มต้นโดย เกออร์ค คันทอร์ และ ริชารด์ เดเดคินด์ ในช่วงหลังของศตวรรษที่ 19 แต่ต่อมาพบว่าทฤษฎีเซตสามัญนั้นก่อให้เกิดปฏิทรรศน์ตามมา เช่น ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ จึงทำให้นักคณิตศาสตร์นิยามเซตผ่านระบบสัจพจน์แทน ระบบสัจพจน์ของเซตที่เป็นที่นิยมมากที่สุดคือ ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิล ทั้งแบบที่มีและไม่มีสัจพจน์การเลือก
ปัจจุบันทฤษฎีเซตถือเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์แล้ว โดยเฉพาะทฤษฎีเซตในรูปแบบทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลพร้อมด้วยทฤษฎีเซต[1] ทฤษฎีเซตเองนั้นก็เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ยังได้รับการวิจัยค้นคว้าอย่างต่อเนื่องจนถึงปัจจุบัน
ประวัติ
[แก้]
ทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่ามีจุดเริ่มต้นจากเกออร์ค คันทอร์[2] ในขณะที่บุคคลที่มีอิทธิพลต่อคันทอร์คือ ริชาร์ด เดเดคินด์ บทความแรกของคันทอร์ที่เกี่ยวข้องกับเซตชื่อว่า สมบัติข้อหนึ่งของกลุ่มรวมจำนวนพีชคณิตทั้งหมด ("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen")[3] ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1874 ในบทความนี้คันทอร์พิสูจน์ว่า เซตของจำนวนพีชคณิตสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งได้กับเซตของจำนวนเต็มบวก
ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์
[แก้]ทฤษฎีเซตในระดับพื้นฐานเป็นทฤษฎีที่ไม่ซับซ้อน และเป็นไปตามสามัญสำนึกของเราว่า เราสามารถสร้างเซตที่สมาชิกของเซตนั้นสอดคล้องกับเงื่อนไขใด ๆ ที่กำหนดขึ้นมาได้ แต่การศึกษาทฤษฎีเซตขั้นสูงพบว่า ข้อสมมตินี้ทำให้เกิดปฏิทรรศน์ในทฤษฎีเซต โดยปฏิทรรศน์ที่ทำให้เกิดปัญหามากและเป็นที่รู้จักคือ ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ ปฏิทรรศน์บูราลี-ฟอร์ติ และ ปฏิทรรศน์ของริชาร์ด จึงทำให้นักคณิตศาสตร์พยายามกำจัดปฏิทรรศน์ที่เกิดขึ้นโดยกำหนดสัจพจน์เป็นกฎเกณฑ์ว่าเซตแบบใดจึงจะสร้างขึ้นหรือมีอยู่ได้ เรียกว่า ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์[4]
ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ที่นิยมศึกษากันมากที่สุดคือทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิล (Zermelo–Fraenkel set theory) ซึ่งเรียกโดยย่อว่า ZF นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีเซตที่เป็นส่วนย่อยของ ZF ได้แก่
นักคณิตศาสตร์จำนวนมากนิยมทำงานกับทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิล โดยมี สัจพจน์การเลือก (axiom of choice) เพิ่มเข้ามา จึงเรียกทฤษฎีเซตนั้นว่า ZFC
ทฤษฎีเซตฟอนนอยมันน์-แบร์ไนส์-เกอเดิลเป็นการขยายทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลพร้อมสัจพจน์การเลือกอย่างอนุรักษ์ โดยเพิ่มคลาสเข้ามาในทฤษฎี[5]
อ้างอิง
[แก้]- ↑ Kunen, Kenneth (1980). Set theory : an introduction to independence proofs. Amsterdam: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-444-85401-0. OCLC 6649856.
- ↑ Johnson, Phillip E. (1970). "THE EARLY BEGINNINGS OF SET THEORY". The Mathematics Teacher. 63 (8): 690–692. ISSN 0025-5769.
- ↑ "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). 1874 (77): 258–262. 1874-01-01. doi:10.1515/crll.1874.77.258. ISSN 0075-4102.
- ↑ Enderton, Herbert B. (1977). Elements of set theory. New York. p. 11. ISBN 9780122384400.
- ↑ Mendelson, Elliott. Introduction to mathematical logic (4th ed.). London: Chapman & Hall. p. 225-240. ISBN 0412808307.
แหล่งข้อมูลอื่น
[แก้]- Handbook of Set Theory -- Edited by M. Foreman, A. Kanamori & M. Magidor.
- "Axiomatic set theory - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org.
- Holmes, M. Randall (2017). "Alternative Axiomatic Set Theories". The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University.
สาขาของวิชาคณิตศาสตร์ | |
|---|---|
| รากฐาน | |
| พีชคณิต | |
| คณิตวิเคราะห์ | |
| วิยุตคณิต | |
| เรขาคณิต | |
| ทฤษฎีจำนวน | |
| ทอพอโลยี | |
| ประยุกต์ | |
| คณนา | |
| อื่น ๆ | |
 | บทความคณิตศาสตร์นี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มเติมข้อมูล |