ตัวแปรเสริมสโตกส์ I, Q, U และ V
ตัวแปรเสริมสโตกส์ (Stokes parameters) เป็นชุดของค่าสี่ค่าที่ใช้อธิบายสถานะของโพลาไรเซชัน ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตั้งชื่อตาม จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ ซึ่งเป็นผู้เสนอขึ้นในปี 1852
ตัวแปรเสริมเหล่านี้มักจะถูกเขียนในรูปแบบของเวกเตอร์ เรียกว่า เวกเตอร์สโตกส์ (Stokes vector) โดยแสดงเป็นฟังก์ชันของความเข้มรวมของลำแสง ระดับของโพลาไรเซชัน และตัวแปรเสริมที่เกี่ยวข้องกับรูปร่างเชิงวงรีของการโพลาไรซ์ ใช้เพื่ออธิบายแสงทั้งที่ไม่โพลาไรซ์ โพลาไรซ์บางส่วน และโพลาไรซ์ทั้งหมด ต่างจากวิธีการคำนวณของโจนส์ ซึ่งสามารถอธิบายได้เฉพาะแสงโพลาไรซ์ทั้งหมดเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น การแทนด้วยค่านี้เหมาะสมอย่างยิ่งสำหรับการทดลอง เนื่องจากแต่ละค่าสอดคล้องกับผลรวมหรือความแตกต่างของความเข้มที่วัดได้ง่าย
ผลของระบบทางแสงที่มีต่อโพลาไรเซชันของแสงสามารถกำหนดได้โดยการสร้างเวกเตอร์สโตกส์สำหรับแสงที่ตกกระทบและใช้เมทริกซ์มึลเลอร์ เพื่อให้ได้เวกเตอร์สโตกส์ของแสงขาออกจากระบบ
หลักการ[แก้]
เรามักจะนำตัวแปรเสริมสโตกส์มาเขียนรวมเป็นเวกเตอร์สโตกส์ ดังนี้:
![{\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d718ad9de072efa005a8271d848bfba39bdc5517)
เราสามารถมองว่าตัวแปรเสริมสโตกส์เป็นความเข้มทั่วไปสามค่า
: ความเข้มทั้งหมดที่วัดได้รวมกัน
: ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบวงกลม ซึ่งอาจมีค่าเป็นบวกหรือลบขึ้นอยู่กับทิศทางของการหมุน
: ความเข้มของโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง ซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่อธิบายความเอียง
ของทิศทางของโพลาไรเซชัน
สำหรับแสงโพลาไรซ์ทั้งหมด ซึ่งมีสถานะโพลาไรซ์แบบเดียวกันทั้งหมด สามารถแสดงได้เป็น
![{\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f503795f636a3626af055d0b316031b5de3ccf7)
สำหรับลำแสงโพลาไรซ์บางส่วน ตัวแปรเสริมสโตกส์จะถูกกำหนดเป็นค่าเฉลี่ย สมการก่อนหน้าจะกลายเป็นอสมการ[1]:
![{\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2}\leq I^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5052502a90be1d46ae206f3690b1ac2dcafa6b)
โดย
เรียกว่าเป็น อัตราโพลาไรเซชัน
คำจำกัดความ[แก้]
เราสามารถให้คำจำกัดความของตัวแปรเสริมสโตกส์ได้หลายแบบขึ้นอยู่กับว่าอธิบายสถานะของโพลาไรซ์ของแสงอย่างไร
คลื่นระนาบอาจแสดงลักษณะเฉพาะด้วยเวกเตอร์คลื่น
และแอมพลิจูดเชิงซ้อนของสนามไฟฟ้า
และ
อธิบายด้วยฐาน
หรืออาจแสดงโดยใช้เวกเตอร์คลื่น เฟส
และสถานะโพลาไรเซชัน
โดย
คือเส้นโค้งที่วาด สนามไฟฟ้าในระนาบหนึ่ง ๆ สถานะโพลาไรเซชันที่พบบ่อยที่สุดคือโพลาไรเซชันแบบเส้นตรง และแบบวงกลม ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของสถานะทั่วไปของโพลาไรเซชันแบบวงรี
องค์ประกอบสนามไฟฟ้า[แก้]
ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามตามองค์ประกอบของสนามไฟฟ้าโดย
![{\displaystyle {\begin{matrix}I&\equiv &|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}\\&=&|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}\\&=&|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2}\\Q&\equiv &|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2}&\\U&\equiv &|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2}&\\V&\equiv &|E_{l}|^{2}-|E_{r}|^{2}&\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8a826934a418163b49ff11b644b670c8521650)
โดยที่ดัชนีอ้างอิงถึงสามฐาน: ฐานอ้างอิงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (
) ฐานที่ทำมุม 45 องศากับฐานอ้างอิง (
) และฐานวงกลม (
) โดยฐานวงกลมถูกกำหนดโดย
รูปทางขวาแสดงให้เห็นว่าเครื่องหมายบวกลบของตัวแปรเสริมสโตกส์มีความสัมพันธ์กับทิศทางการหมุนและการวางแนวของแกนเอกของวงรีอย่างไร
นอกจากนี้ยังสามารถแสดงตัวแปรเสริมสโตกส์ในทั้งสามฐานแต่ละฐานแยกกัน
ในฐาน (
) ตัวแปรเสริมสโตกส์ถูกนิยามโดย
![{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}\\Q&=&|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2}\\U&=&2{\mbox{Re}}(E_{x}E_{y}^{*})\\V&=&-2{\mbox{Im}}(E_{x}E_{y}^{*})\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db6fe89b8933e72214d08d901f6b45fd688a989e)
ในฐาน
แสดงได้เป็น
![{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}\\Q&=&-2{\mbox{Re}}(E_{a}^{*}E_{b})\\U&=&|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2}\\V&=&2{\mbox{Im}}(E_{a}^{*}E_{b})\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a7bc2dcea52a337e35a502e439be8e47916db1)
และในฐาน
:
![{\displaystyle {\begin{matrix}I&=&|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2}\\Q&=&2{\mbox{Re}}(E_{l}^{*}E_{r})\\U&=&-2{\mbox{Im}}(E_{l}^{*}E_{r})\\V&=&|E_{l}|^{2}-|E_{r}|^{2}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d2064179fcde42ac5e14faa227f1764d12bf80)
ในรูปของวงรี[แก้]
วงรีของโพลาไรเซชันและตัวแปรที่เกี่ยวข้อง
วิธีหนึ่งในการอธิบายโพลาไรเซชันคือการระบุแกนเอกและแกนโทของวงรีโพลาไรเซชัน การวางแนว และทิศทางการหมุน ความสัมพันธ์ระหว่างค่าต่าง ๆ ในของวงรีโพลาไรเซชันกับตัวแปรเสริมสโตกส์ อาจแสดงได้ดังนี้:
![{\displaystyle {\begin{matrix}I_{p}&=&A^{2}+B^{2}\\Q&=&(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta )\\U&=&(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta )\\V&=&2ABh\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a425b7db4f2b8e67bcc16bcaf8d8145e4e9b9b)
และในทางกลับกัน:
![{\displaystyle {\begin{matrix}A&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae1a83aa6bdc08373ca80644ff0c2257d27b83a)
ในพิกัดทรงกลม[แก้]
วงรีโพลาไรเซชัน แสดงความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมปวงกาเรกับค่า ψ และ χ
ตัวแปรเสริมสโตกส์อาจแสดงในรูปของพิกัดทรงกลม เรียกว่าทรงกลมปวงกาเร
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07afe53c86ebfd6f2317c6c34a1b308edd5b419e)
ในที่นี้
,
และ
คือพิกัดทรงกลมของสถานะโพลาไรเซชันในปริภูมิสามมิติของตัวแปรเสริมสโตกส์สามตัวหลัง ตัวคูณ 2 อยู่ข้างหน้า
แสดงถึงความจริงที่ว่าวงรีที่หมุนไป 180 องศาจะไม่ต่างจากเดิม ในขณะที่ตัวคูณ 2 ที่อยู่ข้างหน้า
บ่งบอกว่าวงรีจะไม่สามารถแยกความแตกต่างได้เมื่อพลิกแกนทั้งสองตามด้วยการหมุน 90
สามารถหาค่าต่าง ๆ ในพิกัดทรงกลมจากตัวแปรเสริมสโตกส์ได้ด้วยสมการต่อไปนี้:
![{\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {atan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {atan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e448be08bcb4cbbd798a8b8ecbba658d517ca99b)
ตัวอย่าง[แก้]
ภาพอธิบายสถานะโพลาไรซ์บนทรงกลมปวงกาเร
ตารางต่อไปนี้แสดงเวกเตอร์สโตกส์สำหรับสถานะโพลาไรเซชันของแสงที่พบได้บ่อย
โพลาไรเซชัน
|
เวกเตอร์สโตกส์
|
โพลาไรเซชัน
|
เวกเตอร์สโตกส์
|
เส้นตรงแนวนอน
|
|
เส้นตรงแนวตั้ง
|
|
วงกลมวนซ้าย
|
|
วงกลมวนขวา
|
|
เส้นตรงเฉียง องศา
|
|
ไม่โพลาไรซ์
|
|
อ้างอิง[แก้]
- ↑ H. C. van de Hulst "Light scattering by small particles", Dover Publications, New York, 1981, ISBN 0-486-64228-3, page 42.