ความสัมพันธ์สมมาตร

ความสัมพันธ์สมมาตร (Symmetric relation) เป็นประเภทของ ความสัมพันธ์แบบทวิภาค โดยนิยามอย่างเป็นทางการ ความสัมพันธ์ทวิภาค R บน เซต X จะเป็นสมมาตรก็ต่อเมื่อ:

$\forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa),$

ซึ่งสัญลักษณ์ aRb หมายถึง (a, b) ∈ R

ตัวอย่างของความสัมพันธ์สมมาตรคือ ความสัมพันธ์ "เท่ากัน" เพราะหาก a = b เป็นจริงแล้ว b = a ก็จะเป็นจริงเช่นกัน หาก R^T แทน ความสัมพันธ์ผกผัน ของ R แล้ว R จะเป็นสมมาตรก็ต่อเมื่อ R = R^T.

สมมาตร พร้อมกับ ความสัมพันธ์สะท้อนกลับ และ ความสัมพันธ์ผ่านกันได้ เป็นคุณสมบัติที่กำหนด ความสัมพันธ์สมมูล

ตัวอย่าง

ในคณิตศาสตร์

• "เท่ากับ" (การเท่ากัน) (ในขณะที่ "น้อยกว่า" ไม่ใช่สมมาตร)
• "เปรียบเทียบได้" สำหรับสมาชิกของ เซตที่เรียงบางส่วน
• "... และ ... เป็นจำนวนคี่":

นอกคณิตศาสตร์

• "แต่งงานกับ" (ในระบบกฎหมายส่วนใหญ่)
• "เป็นพี่น้องทางสายเลือด"
• "เป็น คำพ้องเสียง ของ"
• "เป็นเพื่อนร่วมงาน"
• "เป็นเพื่อนร่วมทีม"

ความสัมพันธ์กับความสัมพันธ์แบบไม่สมมาตรและแบบแอนตี้สมมาตร

ความสัมพันธ์สมมาตรและแอนตี้สมมาตร

ตามนิยาม ความสัมพันธ์ที่ไม่ว่างไม่สามารถเป็นได้ทั้งสมมาตรและ ความสัมพันธ์ไม่สมมาตร (ซึ่งหาก a มีความสัมพันธ์กับ b แล้ว b ไม่สามารถมีความสัมพันธ์กับ a แบบเดียวกันได้) อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์สามารถไม่ใช่ทั้งสมมาตรและไม่สมมาตร เช่น "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" และ "ล่า"

สมมาตรและ ความสัมพันธ์แอนตี้สมมาตร (ซึ่งกรณีเดียวที่ a มีความสัมพันธ์กับ b และ b มีความสัมพันธ์กับ a ได้ คือเมื่อ a = b) แท้จริงแล้วไม่ขึ้นต่อกัน ดังตัวอย่างเหล่านี้:

ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์

	สมมาตร	ไม่สมมาตร
แอนตี้สมมาตร	การเท่ากัน	หาร, น้อยกว่าหรือเท่ากับ
ไม่แอนตี้สมมาตร	ความสมมูล ใน เลขคณิตแบบโมดูลาร์	การหารจำนวนเต็ม ส่วนใหญ่ และ การสับเปลี่ยน ที่ไม่เป็นปกติ

ตัวอย่างนอกคณิตศาสตร์

	สมมาตร	ไม่สมมาตร
แอนตี้สมมาตร	เป็นบุคคลเดียวกัน และแต่งงานกัน	เป็นรูปพหูพจน์ของ
ไม่แอนตี้สมมาตร	เป็นพี่น้องทางสายเลือด	ล่า

คุณสมบัติ

• ความสัมพันธ์ที่สมมาตรและ ความสัมพันธ์ผ่านกันได้ จะเป็น ความสัมพันธ์แบบกึ่งสะท้อนกลับ เสมอ
• วิธีหนึ่งในการนับจำนวนความสัมพันธ์สมมาตรบน n องค์ประกอบ ในการแทนด้วยเมทริกซ์ทวิภาค ส่วนบนขวาของสามเหลี่ยมจะกำหนดความสัมพันธ์อย่างสมบูรณ์ และมันสามารถกำหนดให้เป็นใดก็ได้ ดังนั้นจึงมีความสัมพันธ์สมมาตรเท่ากับเมทริกซ์ทวิภาค n × n สามเหลี่ยมด้านบน, 2^n(n+1)/2.

ดูเพิ่มเติม

• สมบัติการสลับที่ – property of binary operations, for which changing the order of the operands does not change the resultPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• สมมาตรในคณิตศาสตร์
• สมมาตร – state; balance of objectPages displaying wikidata descriptions as a fallback