กฎของแก๊สอุดมคติ

กฎของแก๊สอุดมคติ (อังกฤษ: ideal gas law) บ้างก็เรียกว่า สมการแก๊สทั่วไป เป็นสมการของสภาวะ (equation of state) ของแก๊สอุดมคติ (ideal gas) สมมุติและเป็นการประมาณพฤติกรรมของแก๊สที่ดีภายใต้สภาวะต่าง ๆ แม้ยังมีข้อจำกัดอยู่หลายข้อ ถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกโดย เบอนัว ปอล เอมีล กลาแปรง ในปี ค.ศ. 1834 เป็นการรวมกันของกฏของบอยล์ (Boyle's law), กฎของชาร์ล (Charles's law), กฎของอาโวกาโดร และกฎของแก-ลูว์ซัก (Gay-Lussac's law) ซึ่งเป็นเชิงประจักษ์^[1] กฎของแก๊สอุดมคติมักถูกเขียนอยู่ในรูปเชิงประจักษ์:

PV=nRT

โดย $P$ , $V$ และ $T$ คือความดัน, ปริมาตร และอุณหภูมิ (Thermodynamic temperature) $n$ คือจำนวนของสสาร (amount of substance) และ $R$ คือค่าคงตัวของแก๊สซึ่งมีค่าเท่าเดิมไม่ว่าเป็นแก๊สชนิดใด เราสามารถอนุพัทธ์สมการนี้ได้จากทฤษฎีจลน์ของแก๊สในระดับจุลทรรศน์ดังเช่นที่ได้กระทำแล้ว (โดยอิสระจากกัน) โดย เอากุสต์ เครอนิค (August Krönig) ในปี ค.ศ. 1856^[2] และ รูด็อล์ฟ เคลาซีอุส ในปี ค.ศ. 1857^[3]

สมการ

สภาวะ (state function) ของแก๊สปริมาณหนึ่งถูกกำหนดโดยความดัน, ปริมาตร และอุณหภูมิ สมการรูปแบบปัจจุบันแสดงความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นสองรูปแบบอย่างง่าย อุณหภูมิในสมการของสภาวะเป็นอุณหภูมิสัมบูรณ์ซึ่งมีหน่วย SI เป็นเคลวิน^[4]

รูปแบบสามัญ

รูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุดคือ:

pV=nRT=nk_{\text{B}}N_{\text{A}}T,

โดย:

$p$ คือความดันของแก๊ส
$V$ คือปริมาตรของแก๊ส
$n$ คือปริมาณของสสารของแก๊ส (หรือจำนวนโมล)
$R$ คือค่าคงตัวของแก๊สอุดมคติหรือสากลซึ่งเท่ากับผลคูณของค่าคงตัวบ็อลทซ์มันกับค่าคงตัวอาโวกาโดร
$k_{\text{B}}$ คือค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน
$N_{A}$ คือค่าคงตัวอาโวกาโดร
$T$ คืออุณหภูมิสัมบูรณ์ของแก๊ส

ในหน่วย SI p ถูกวัดเป็นปาสกาล V ถูกวัดเป็นลูกบาศก์เมตร n ถูกวัดเป็นโมล และ T ถูกวัดเป็นเคลวิน (มาตราวัดเคลวินคือมาตราวัดเซลเซียสที่ถูกเลื่อนซึ่งอุณหภูมิที่ต่ำที่สุด 0.00 K = −273.15 °C) R มีค่าเท่ากับ 8.314 J/(K·mol) ≈ 2 cal/(K·mol) หรือ 0.0821 l·atm/(mol·K)

รูปแบบโมลาร์

เราสามารถระบุปริมาณแก๊สที่มีอยู่ได้จากมวลแทนปริมาณทางเคมีได้ ดังนั้นจึงมีประโยชน์หากเรามีกฎของแก๊สอุดมคติอีกรูปแบบหนึ่ง ปริมาณทางเคมี (n) (หน่วยเป็นโมล) เท่ากับมวลรวมของแก๊ส (m) (หน่วยเป็นกิโลกรัม) หารด้วยมวลโมลาร์ (molar mass) (M) (หน่วยเป็นกิโลกรัมต่อโมล):

n={\frac {m}{M}}.

เมื่อแทน n ด้วย m/M แล้วใส่ความหนาแน่น ρ = m/V ลงไปในสมการ เราจะได้:

pV={\frac {m}{M}}RT

p={\frac {m}{V}}{\frac {RT}{M}}

p=\rho {\frac {R}{M}}T

ให้นิยามค่าคงตัวของแก๊สจำเพาะ R_specific(r) เป็นอัตราส่วน R/M

p=\rho R_{\text{specific}}T

กฎของแก๊สอุดมคติรูปแบบนี้มีประโยชน์อย่างมากมาก เพราะสามารถเชื่อมโยงความดัน ความหนาแน่น และอุณหภูมิเข้าด้วยกันในสูตรที่เป็นเอกลักษณ์ซึ่งไม่พึ่งพาปริมาณของแก๊สที่เราพิจารณา กฎนี้สามารถเขียนเป็นอีกแบบได้โดยใช้ค่าปริมาตรจำเพาะ v ซึ่งเป็นส่วนกลับของความหนาแน่น:

pv=R_{\text{specific}}T.

ในการใช้งานทางวิศวกรรมและอุตุนิยมวิทยา ค่าคงตัวของแก๊สจำเพาะมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ R และค่าคงตัวของแก๊สสากลจะใช้สัญลักษณ์ต่างจากเดิมเป็น ${\bar {R}}$ หรือ $R^{*}$ เพื่อแยกแยะทั้งสองค่าจากกัน อย่างไรก็ตาม บริบทและ/หรือหน่วยของค่าคงตัวของแก๊สจะเป็นตัวบอกให้กระจ่างเองว่าสัญลักษณ์นั้นแทนค่าคงตัวของแก๊สแบบจำเพาะหรือสากล^[5]

กลศาสตร์สถิติ

ในกลศาสตร์สถิติ (statistical mechanics) เราสามารถอนุพัทธ์หาสมการเชิงโมเลกุลได้จาก $p$ ในสมการแรก

โดย $P$ คือความดันสัมบูรณ์ของแก๊ส, $n$ คือความหนาแน่นเชิงจำนวนของโมเลกุล (กำหนดเป็นอัตราส่วน $n$ = $N / V$ ซึ่งต่างจากรูปสมการก่อนที่ $n$ เป็นจำนวนโมล), $T$ คืออุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ และ $k B$ คือค่าคงตัวบ็อลทซ์มันซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและอุณหภูมิ กำหนดว่า:

k_{\text{B}}={\frac {R}{N_{\text{A}}}}

โดย $N A$ คือค่าคงตัวอาโวกาโดร

จากนี่เราพบว่าแก๊สมวล $m$ มีมวลอนุภาคเฉลี่ยเท่ากับ $μ$ คูณค่าคงตัวมวลอะตอม $m u$ (หรือเท่ากับ $μ$ u) จำนวนของโมเลกุลเท่ากับ:

N={\frac {m}{\mu m_{\text{u}}}},

เนื่องจาก $ρ = m / V = nμm u$ เราจึงสามารถเขียนกฎของแก๊สอุดมคติอีกแบบได้เป็น

P={\frac {1}{V}}{N}k_{\text{B}}T={\frac {1}{V}}{\frac {m}{\mu m_{\text{u}}}}k_{\text{B}}T={\frac {k_{\text{B}}}{\mu m_{\text{u}}}}\rho T.

ในหน่วย SI $P$ มีหน่วยเป็นปาสกาล, $V$ มีหน่วยเป็นลูกบาศก์เมตร, $T$ มีหน่วยเป็นเคลวิน และ $k B = 1.38 \times 10 -23 J\cdotK -1$

กฎรวมของแก๊ส

นำกฎของชาร์ล กฏของบอยล์ และกฎของแก-ลูว์ซักมารวมกันแล้วได้กฎรวมของแก๊สซึ่งมีรูปแบบการใช้งานแบบเดียวกับกฎของแก๊สอุดมคติ หากแต่ไม่ระบุจำนวนโมลของแก็สและสมมุติว่าอัตราส่วน $PV$ ต่อ $T$ เป็นค่าคงตัว ( $nR=k$ ):^[6]

{\frac {PV}{T}}=k,

โดย $P$ คือความดันของแก๊ส, $V$ คือปริมาตรของแก๊ส, $T$ คืออุณหภูมิสัมบูรณ์ของแก๊ส และ $k$ เป็นค่าคงตัว เมื่อเราต้องการเปรียบเทียบสสารเดียวกันภายใต้สภาวะที่ต่างกันสองสภาวะ สามารถเขียนกฎนี้ได้เป็น

{\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}.

พลังงานซึ่งสัมพันธ์กับแก๊ส

ตามสมมติฐานจากทฤษฎีจลน์ของแก๊ส เราสามารถสมมุติได้ว่าโมเลกุลของแก๊สอุดมคตินั้นไม่มีแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล หรือพูดอีกแบบคือไม่มีพลังงานศักย์ พลังงานทั้งหมดที่แก๊สมีจึงเป็นเพียงพลังงานจลน์ของแก๊สแต่ละโมเลกุล

E={\frac {3}{2}}nRT

คือสูตรสำหรับพลังงานจลน์ของแก็สอะตอมเดี่ยวจำนวน n โมลซึ่งมีองศาเสรี 3 องศา; x, y, z

พลังงานของแก๊ส	นิพจน์ทางคณิตศาสตร์
พลังงานซึ่งสัมพันธ์กับแก๊สอะตอมเดี่ยวจำนวนหนึ่งโมล	$E={\frac {3}{2}}RT$
พลังงานซึ่งสัมพันธ์กับแก๊สอะตอมเดี่ยวมวลหนึ่งกรัม	$E={\frac {3}{2}}rT$
พลังงานซึ่งสัมพันธ์กับแก๊สอะตอมเดี่ยวจำนวนหนึ่งโมเลกุล (หรือหนึ่งอะตอม)	$E={\frac {3}{2}}k_{B}T$

การประยุกต์ใช้ในกระบวนการทางอุณหพลศาสตร์

ในตารางด้านล่าง สมการของแก๊สอุดมคติถูกทำให้ง่ายลงสำหรับการนำไปใช้กับกระบวนการเฉพาะต่าง ๆ และทำให้สามารถแก้ปัญหาด้วยวิธีเชิงตัวเลขง่ายยิ่งขึ้น

กระบวนการทางอุณหพลศาสตร์ (thermodynamic process) มีนิยามเป็นระบบซึ่งเคลื่อนจากสภาวะที่ 1 ไปสู่สภาวะที่ 2 โดยเลขซึ่งบอกสภาวะแทนด้วยตัวห้อย โดยกระบวนการพื้นฐานถูกแบ่งออกเป็นแต่ละชนิดตามคุณสมบัติของแก๊สที่ถูกตรึงให้คงที่ไว้ตลอดกระบวนการ (P, V, T, S หรือ H) ดังที่แสดงในสดมภ์แรกของตาราง

จะต้องมีการระบุ (ไม่ว่าโดยตรงหรือโดยอ้อม) หนึ่งในอัตราส่วนระหว่างคุณสมบัติ (ซึ่งมีการจัดรายการไว้ในสดมภ์ที่ชื่อว่า "อัตราส่วนที่รู้จัก") เพื่อระบุขอบเขตของกระบวนการทางอุณหพลศาสตร์ชนิดหนึ่ง และคุณสมบัติซึ่งปรากฎอยู่ในอัตราส่วนจะต้องต่างจากคุณสมบัติที่คงที่ (ไม่เช่นนั้นแล้วอัตราส่วนก็จะเป็นเอกภาพ และเราจะไม่มีข้อมูลมากพอที่จะสามารถทำให้สมการง่ายลงได้)

ส่วนในสามสดมภ์สุดท้าย เราสามารถหาค่าของคุณสมบัติ (p, V หรือ T) ของสภาวะที่ 2 ได้จากการนำค่าของคุณสมบัติเหล่านั้นในสภาวะที่ 1 มาคำนวณในสมการซึ่งถูกจัดไว้อยู่ในรายการ

กระบวนการ	ค่าที่คงตัว	อัตราส่วนหรือผลต่างที่รู้จัก	p₂	V₂	T₂
กระบวนการความดันคงที่ (Isobaric process)	ความดัน	V₂/V₁	p₂ = p₁	V₂ = V₁(V₂/V₁)	T₂ = T₁(V₂/V₁)
กระบวนการความดันคงที่ (Isobaric process)	ความดัน	T₂/T₁	p₂ = p₁	V₂ = V₁(T₂/T₁)	T₂ = T₁(T₂/T₁)
กระบวนการปริมาตรคงที่ (Isochoric process) (Isovolumetric process) (Isometric process)	ปริมาตร	p₂/p₁	p₂ = p₁(p₂/p₁)	V₂ = V₁	T₂ = T₁(p₂/p₁)
	ปริมาตร	T₂/T₁	p₂ = p₁(T₂/T₁)	V₂ = V₁	T₂ = T₁(T₂/T₁)
กระบวนการอุณหภูมิคงที่ (Isothermal process)	อุณหภูมิ	p₂/p₁	p₂ = p₁(p₂/p₁)	V₂ = V₁/(p₂/p₁)	T₂ = T₁
กระบวนการอุณหภูมิคงที่ (Isothermal process)	อุณหภูมิ	V₂/V₁	p₂ = p₁/(V₂/V₁)	V₂ = V₁(V₂/V₁)	T₂ = T₁
กระบวนการเอนโทรปีคงที่ (Isentropic process) (กระบวนการความร้อนคงที่ที่ผันกลับได้)	เอนโทรปี^[a]	p₂/p₁	p₂ = p₁(p₂/p₁)	V₂ = V₁(p₂/p₁)^(−1/γ)	T₂ = T₁(p₂/p₁)^{(γ − 1)/γ}
		V₂/V₁	p₂ = p₁(V₂/V₁)^−γ	V₂ = V₁(V₂/V₁)	T₂ = T₁(V₂/V₁)^{(1 − γ)}
		T₂/T₁	p₂ = p₁(T₂/T₁)^{γ/(γ − 1)}	V₂ = V₁(T₂/T₁)^{1/(1 − γ)}	T₂ = T₁(T₂/T₁)
กระบวนการโพลีทรอปิก (Polytropic process)	P Vⁿ	p₂/p₁	p₂ = p₁(p₂/p₁)	V₂ = V₁(p₂/p₁)^(-1/n)	T₂ = T₁(p₂/p₁)^{(n − 1)/n}
		V₂/V₁	p₂ = p₁(V₂/V₁)⁻ⁿ	V₂ = V₁(V₂/V₁)	T₂ = T₁(V₂/V₁)^{(1 − n)}
		T₂/T₁	p₂ = p₁(T₂/T₁)^{n/(n − 1)}	V₂ = V₁(T₂/T₁)^{1/(1 − n)}	T₂ = T₁(T₂/T₁)
กระบวนการเอนทาลปีคงที่ (Isenthalpic process) (กระบวนการความร้อนคงที่ที่ผันกลับไม่ได้)	เอนทาลปี^[b]	p₂ − p₁	p₂ = p₁ + (p₂ − p₁)		T₂ = T₁ + μ_JT(p₂ − p₁)
	เอนทาลปี^[b]	T₂ − T₁	p₂ = p₁ + (T₂ − T₁)/μ_JT		T₂ = T₁ + (T₂ − T₁)

^{^} a. ในกระบวนการเอนโทรปีคงที่ เอนโทรปี (S) ของระบบมีค่าคงที่ และ p₁ V₁^γ = p₂ V₂^γ ภายใต้เงื่อนไขนี้ โดย γ คืออัตราส่วนความร้อนจำเพาะ (heat capacity ratio) ซึ่งในแก๊สสมบูรณ์แบบทางพลังงาน (calorically perfect gas) มีค่าคงที่ ค่าของ γ ที่ปกติใช้กับแก๊สสองอะตอม (diatomic gas) เช่นแก๊สไนโตรเจน (N₂) และแก๊สออกซิเจน (O₂) (และอากาศ ซึ่งประกอบไปด้วยแก๊สสองอะตอม 99%) มีค่าเท่ากับ 1.4 ส่วนค่าที่ใช้กับแก๊สอะตอมเดี่ยวเช่นแก๊สมีสกุล ฮีเลียม (He) และอาร์กอน (Ar) มีค่าเท่ากับ 1.6 ค่า γ ในเครื่องยนต์เผาไหม้ภายในมีค่าระหว่าง 1.35 และ 1.15 ซึ่งขึ้นกับองค์ประกอบของแก๊สและอุณหภูมิ

^{^} b. ในกระบวนการเอนทาลปีคงที่ เอนทาลปี (H) ของระบบมีค่าคงที่ ในบริบทของการขยายตัวอิสระ (free expansion) ของแก๊สอุดมคติ อุณหภูมิมีค่าคงที่และโมเลกุลไม่มีปฏิกิริยาระหว่างกัน กลับกันในแก๊สจริงนั้น โมเลกุลมีปฏิกิริยาระหว่างกันผ่านการดึงดูดหรือผลักไสขึ้นกับความดันและอุณหภูมิ และสามารถร้อนหรือเย็นลงได้ นี่เป็นที่รู้จักว่าปรากฏการณ์จูล-ทอมสัน (Joule-Thomson effect) สำหรับการอ้างอิง สัมประสิทธิ์จูล-ทอมสัน μ_JT สำหรับอากาศที่อุณหภูมิห้อง ณ ระดับน้ำทะเลเท่ากับ 0.22 °C/bar^[7]

การเบี่ยงเบนจากพฤติกรรมในอุดมคติของแก๊สจริง

สมการของสภาวะที่กำหนดมานี้ (PV=nRT) สามารถนำไปใช้กับแก๊สอุดมคติหรือนำไปใช้เพื่อประมาณพฤติกรรมของแก๊สจริงซึ่งมีความคล้ายกับแก๊สอุดมคติพอสมควรได้เท่านั้น ความจริงแล้ว สมการของสภาวะสมการนี้มีรูปแบบอยู่หลายรูปแบบ กฎของแก๊สอุดมคติไม่สนใจขนาดโมเลกุล (molecular size) และแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล (inter molecular attraction) จึงสามารถนำไปใช้ได้อย่างแม่นยำที่สุดกับแก๊สอะตอมเดี่ยว (monatomic) ที่อุณหภูมิสูงและความดันต่ำ ยิ่งความหนาแน่นลดลงหรือยิ่งปริมาตรสูงขึ้นและความดันต่ำลง ความสำคัญของขนาดโมเลกุลก็ยิ่งลดลงเช่นเดียวกัน เพราะระยะทางความห่างระหว่างโมเลกุลโดยเฉลี่ยจะมีค่าสูงกว่าขนาดของโมเลกุลอย่างมาก และยิ่งพลังงานจลน์ทางความร้อนสูงขึ้นหรือยิ่งอุณหภูมิสูงขึ้น ความสำคัญของแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลก็ยิ่งลดลงโดยสัมพัทธ์ สมการของสภาวะที่มีรายละเอียดสูงกว่าเช่นสมการวานเดอร์วาลส์ (van der Waals equation) จะมีการแก้ไขการเบี่ยงเบนจากอุดมคติซึ่งเกิดจากขนาดของโมเลกุลและแรงระหว่างโมเลกุล

สมบัติตกค้าง (residual property (physics)) มีนิยามเป็นความแตกต่างระหว่างสมบัติของแก๊สจริง (real gas) และสมบัติของแก๊สอุดมคติภายใต้ความดัน อุณหภูมิ และองค์ประกอบเดียวกัน

การอนุพัทธ์

เชิงประจักษ์

กฎเชิงประจักษ์ซึ่งนำไปสู่การอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติถูกค้นพบผ่านการทดลอง โดยใช้การเปลี่ยนตัวแปรสภาวะของแก๊สเพียงสองอย่างและตรึงตัวแปรที่เหลือให้คงที่

กฎของแก๊สทั้งหมดที่สามารถค้นพบได้ด้วยการจัดเตรียมการทดลองแบบนี้มี:

{PV}=C_{1}

หรือ

P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}

(1) เรียกว่ากฏของบอยล์

{\frac {V}{T}}=C_{2}

หรือ

{\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}

(2) เรียกว่ากฎของชาร์ล

{\frac {V}{N}}=C_{3}

หรือ

{\frac {V_{1}}{N_{1}}}={\frac {V_{2}}{N_{2}}}

(3) เรียกว่ากฎของอาโวกาโดร

{\frac {P}{T}}=C_{4}

หรือ

{\frac {P_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}}{T_{2}}}

(4) เรียกว่ากฎของแก-ลูว์ซัก

NT=C_{5}

หรือ

N_{1}T_{1}=N_{2}T_{2}

(5)

{\frac {P}{N}}=C_{6}

หรือ

{\frac {P_{1}}{N_{1}}}={\frac {P_{2}}{N_{2}}}

(6)

โดย "P" แทนความดัน, "V" แทนปริมาตร, "N" แทนจำนวนอนุภาคของแก๊ส และ "T" แทนอุณหภูมิ โดย $C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5},C_{6}$ ไม่ใช่ค่าคงตัวของจริง แต่เป็นค่าคงตัวในบริบทนี้ เพราะแต่ละสมการต้องการตัวแปรที่ระบุไว้อย่างชัดเจนให้เปลี่ยนเท่านั้น

เราไม่จำเป็นต้องรู้กฎของแก๊สทั้งหกสูตรเพื่ออนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติ เพียงรู้แค่สามกฎเราจะสามารถอนุพัทธ์กฎที่เหลือได้ และเราต้องรู้แค่สี่กฎเพื่อที่จะสามารถอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติได้

ในเมื่อสูตรแต่ละสูตรจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อตัวแปรสภาวะที่อยู่ในสูตรเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงในขณะที่ตัวแปรที่เหลือมีค่าคงที่ เราไม่สามารถใช้พีชคณิตเพื่อรวมสูตรโดยตรงได้ เราต้องพิจารณาถึงการทดลองของบอยล์ว่าเขาทำการทดลองโดยตรึงค่า N และ T ไว้ให้คงที่

เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราจำเป็นต้องจินตนาการว่าแก๊สเปลี่ยนสถาวะผ่านกระบวนการทีละกระบวนการเพื่อให้อนุพัทธ์ได้อย่างถูกต้อง การอนุพัทธ์ซึ่งใช้สูตรสี่สูตรเป็นดังนี้:

ในตอนแรก แก๊สมีพารามิเตอร์ $P_{1},V_{1},N_{1},T_{1}$

ให้เริ่มเปลี่ยนเฉพาะความดันและปริมาตรตามกฎของบอยล์ แล้ว:

P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}

(7) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ

P_{2},V_{2},N_{1},T_{1}

จากนั้นใช้สมการที่ (5) เพื่อเปลี่ยนจำนวนอนุภาคและอุณหภูมิของแก๊ส

N_{1}T_{1}=N_{2}T_{2}

(8) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ

P_{2},V_{2},N_{2},T_{2}

จากนั้นใช้สมการที่ (6) เพื่อเปลี่ยนความดันและจำนวนอนุภาค

{\frac {P_{2}}{N_{2}}}={\frac {P_{3}}{N_{3}}}

(9) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ

P_{3},V_{2},N_{3},T_{2}

จากนั้นใช้กฎของชาร์ลเพื่อเปลี่ยนปริมาตรและอุณหภูมิของแก๊ส

{\frac {V_{2}}{T_{2}}}={\frac {V_{3}}{T_{3}}}

(10) เมื่อจบกระบวนการนี้ แก๊สจะมีพารามิเตอร์เท่ากับ

P_{3},V_{3},N_{3},T_{3}

จากนั้นใช้พีชคณิตรวมสมการที่ (7), (8), (9) และ (10) จะได้:

{\frac {P_{1}V_{1}}{N_{1}T_{1}}}={\frac {P_{3}V_{3}}{N_{3}T_{3}}}

หรือ

{\frac {PV}{NT}}=K_{B}

โดย

K_{B}

แทนค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน

ในทางเดียวกัน ในเมื่อ $nR=NK_{B}$ โดย "n" คือจำนวนโมลของแก๊ส และ "R" คือค่าคงตัวของแก๊สสากล เราจะได้:

PV=nRT,

ซึ่งเป็นที่รู้จักในชื่อว่ากฎของแก๊สอุดมคติ

หากเราทำการทดลองและพบสูตรเพียงสามสูตรจากทั้งหกสูตร เราสามารถอนุพัทธ์สูตรที่เหลือได้ผ่านวิธีการที่เขียนอธิบายไว้ด้านบน แต่เพราะแต่ละสมการมีตัวแปรแค่สองตัวเท่านั้น เราไม่สามารถใช้สูตรสามสูตรสูตรใดก็ได้ เช่นหากเรามีสมการที่ (1), (2) และ (4) เราไม่สามารถอนุพัทธ์สมการอื่นได้ เพราะการรวมสมการสองสมการใด ๆ จะให้ผลเป็นสมการอันที่สามที่เราเลือกมา แต่หากเรามีสมการที่ (1), (2) และ (3) เราจะสามารถหาสมการทั้งหกสมการได้โดยไม่จำเป็นต้องทำการทดลองอื่นอีก เพราะการรวมสมการที่ (1) และ (2) จะให้ผลเป็นสมการที่ (4), (1) และ (3) จะได้สมการที่ (6), (4) และ (6) หรือ (2) และ (3) จะได้สมการที่ (5) ตามที่มีการอธิบายให้เห็นเป็นรูปภาพที่แสดงความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

โดยเลขแต่ละตัวแทนกฎของแก๊สตามที่เรียงเลขที่ไว้ด้านบน

หากเราทำตามวิธีการด้านบนกับกฎสองกฎจากเลขที่อยู่บนมุมสองมุมจากทั้งสามมุมของสามเหลี่ยมที่มีเลข "O" อยู่ภายใน เราจะได้ผลออกมาเป็นกฎตามเลขที่ปรากฏบนมุมที่สาม

ตัวอย่างเช่น:

เปลี่ยนแค่ความดันและปริมาตรก่อน: $P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}$ (1´)

จากนั้นเปลี่ยนแค่ปริมาตรและอุณหภูมิ: ${\frac {V_{2}}{T_{1}}}={\frac {V_{3}}{T_{2}}}$ (2´)

และในเมื่อเราสามารถให้ $V_{3}$ แทนค่าใดก็ได้ เราจะให้ $V_{1}=V_{3}$ และสมการที่ (2´) จะกลายเป็น: ${\frac {V_{2}}{T_{1}}}={\frac {V_{1}}{T_{2}}}$ (3´)

การรวมสมการที่ (1´) และ (3´) จะได้ผลเป็น ${\frac {P_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}}{T_{2}}}$ ซึ่งก็คือสมการที่ (4) โดยเราไม่เคยรู้จักสมการนี้มาก่อนจนกระทั่งเราได้อนุพัทธ์มันออกมา

เชิงทฤษฎี

ทฤษฎีจลน์

เราสามารถอนุพัทธ์กฎของแก๊สอุดมคติได้จากหลักการแรก (first principle) โดยใช้ทฤษฎีจลน์ของแก๊สซึ่งมีสมมติฐานที่ทำให้ง่ายลงหลายข้อ เช่นการสมมติว่าโมเลกุลหรืออะตอมของแก๊สเป็นมวลจุดหรือมีมวลแต่มีปริมาตรที่น้อยจนไม่มีนัยสำคัญ และชนกับผนังของภาชนะและชนกันอย่างยืดหยุ่นเท่านั้น โดยอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้นและพลังงานจลน์

สมมติฐานพื้นฐานของทฤษฎีจลน์ของแก๊สบอกเป็นนัยว่า

PV={\frac {1}{3}}Nmv_{\text{rms}}^{2}.

จากนั้น ตามการกระจายตัวแบบแมกซ์เวลล์-บ็อลทซ์มัน (Maxwell-Boltzmann distribution) โมเลกุลส่วนหนึ่งที่มีอัตราเร็วอยู่ในช่วง $v$ ถึง $v+dv$ เท่ากับ $f(v)\,dv$ โดย

f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}v^{2}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}

และ $k$ คือค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน ค่าเฉลี่ยกำลังสองหาได้จากการคำนวณดังนี้

v_{\text{rms}}^{2}=\int _{0}^{\infty }v^{2}f(v)\,dv=4\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\,dv.

ด้วยสูตรของปริพันธ์

\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,{\frac {(2n)!}{n!}}\left({\frac {a}{2}}\right)^{2n+1},

เราจึงได้

v_{\text{rms}}^{2}=4\pi \left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\pi }}\,{\frac {4!}{2!}}\left({\frac {\sqrt {\frac {2kT}{m}}}{2}}\right)^{5}={\frac {3kT}{m}},

และจากนั้น เราก็จะได้กฎของแก๊สอุดมคติ:

PV={\frac {1}{3}}Nm\left({\frac {3kT}{m}}\right)=NkT.

กลศาสตร์สถิติ

ให้ q = (q_x, q_y, q_z) และ p = (p_x, p_y, p_z) แสดงถึงเวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์โมเมนตัมของอนุภาคแก๊สอุดมคติตามลำดับ ให้ F แสดงถึงแรงสุทธิที่กระทำบนอนุภาคนั้น แล้วพลังงานจลน์เฉลี่ยกับเวลาของอนุภาคเท่ากับ:

{\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &={\Bigl \langle }q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}{\Bigr \rangle }+{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}{\Bigr \rangle }\\&=-{\Bigl \langle }q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y}}}{\Bigr \rangle }-{\Bigl \langle }q_{z}{\frac {\partial H}{\partial q_{z}}}{\Bigr \rangle }=-3k_{B}T,\end{aligned}}

โดยสมการแรกคือกฎข้อที่สองของนิวตัน บรรทัดที่สองใช้สมการของแฮมิลตันและทฤษฎีบทการแบ่งเท่า (equipartition theorem) ผลบวกรวมทั้งระบบของอนุภาค N อนุภาคเท่ากับ

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }.

ตามกฎข้อที่สามของนิวตันและสมมติฐานของแก๊สอุดมคติ แรงสุทธิที่กระทำบนระบบคือแรงที่ผนังของภาชนะกระทำ และแรงนี้ถูกกำหนดโดยความดัน P ของแก๊ส ดังนั้น

-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} ,

โดย dS คือองค์ประกอบพื้นที่ขนาดกณิกนันต์รอบผนังของภาชนะ ในเมื่อไดเวอร์เจนซ์ (divergence) หรือความลู่ออกของเวกเตอร์ตำแหน่ง q เท่ากับ

\nabla \cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3,

ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (divergence theorem) บอกเป็นนัยว่า

P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} =P\int _{\mathrm {volume} }\left(\nabla \cdot \mathbf {q} \right)dV=3PV,

โดย dV คือปริมาตรขนาดกณิกนันต์ภายในภาชนะ และ V คือปริมาตรทั้งหมดของภาชนะ

เมื่อนำสมการทั้งหมดมารวมกัน จะได้ผลเป็น

3Nk_{B}T=-{\biggl \langle }\sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}{\biggr \rangle }=3PV,

ซึ่งแสดงถึงกฎของแก๊สอุดมคติของอนุภาค N อนุภาค:

PV=Nk_{B}T=nRT,\,

โดย n = N/N_A คือจำนวนโมลของแก๊ส และ R = N_Ak_B คือค่าคงตัวของแก๊ส

ในมิติอื่น

ความดันของแก๊สอุดมคติในระบบ d มิติเท่ากับ:^[8]

P^{(d)}={\frac {Nk_{B}T}{L^{d}}},

โดย $L^{d}$ คือปริมาตรของขอบเขต d มิติที่มีแก๊สอยู่ สังเกตว่ามิติ (หรือหน่วย) ของความดันเปลี่ยนตามมิติที่เปลี่ยนไป

ดูเพิ่ม

สมการวานเดอร์วาลส์ (Van der Waals equation)
ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน – physical constant relating energy at the individual particle level with temperature
ฟังก์ชันแบ่งส่วน (Partition function (statistical mechanics))
ความดันพลวัต (Dynamic pressure)
พลังงานภายใน (Internal pressure)

อ้างอิง

↑ John Hancel Siccuan (2001). "Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur". Journal de l'École Polytechnique (ภาษาฝรั่งเศส). XIV: 153–90. Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 153–90).
↑ John Hancel Siccuan (2001). "Grundzüge einer Theorie der Gase". Annalen der Physik und Chemie (ภาษาเยอรมัน). 99 (10): 315–22. Bibcode:1856AnP...175..315K. doi:10.1002/andp.18561751008. Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 315–22).
↑ Clausius, R. (1857). "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen". Annalen der Physik und Chemie (ภาษาเยอรมัน). 176 (3): 353–79. Bibcode:1857AnP...176..353C. doi:10.1002/andp.18571760302. Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 353–79).
↑ "Equation of State". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2014-08-23. สืบค้นเมื่อ 2010-08-29.
↑ Moran; Shapiro (2000). Fundamentals of Engineering Thermodynamics (4th ed.). Wiley. ISBN 0-471-31713-6.
↑ Raymond, Kenneth W. (2010). General, organic, and biological chemistry : an integrated approach (3rd ed.). John Wiley & Sons. p. 186. ISBN 9780470504765. สืบค้นเมื่อ 29 January 2019.
↑ J. R. Roebuck (1926). "The Joule-Thomson Effect in Air". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 12 (1): 55–58. Bibcode:1926PNAS...12...55R. doi:10.1073/pnas.12.1.55. PMC 1084398. PMID 16576959.
↑ Khotimah, Siti Nurul; Viridi, Sparisoma (2011-06-07). "Partition function of 1-, 2-, and 3-D monatomic ideal gas: A simple and comprehensive review". Jurnal Pengajaran Fisika Sekolah Menengah. 2 (2): 15–18. arXiv:1106.1273. Bibcode:2011arXiv1106.1273N.

แหล่งข้อมูลอื่น

"Website giving credit to Benoît Paul Émile Clapeyron, (1799–1864) in 1834". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ July 5, 2007.
Configuration integral (statistical mechanics) where an alternative statistical mechanics derivation of the ideal-gas law, using the relationship between the Helmholtz free energy and the partition function, but without using the equipartition theorem, is provided. Vu-Quoc, L., Configuration integral (statistical mechanics), 2008. this wiki site is down; see this article in the web archive on 2012 April 28.
Gas equations in detail
Davis; Masten (2002). Principles of Environmental Engineering and Science. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-235053-9.

[1] John Hancel Siccuan (2001). "Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur". Journal de l'École Polytechnique (ภาษาฝรั่งเศส). XIV: 153–90. Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 153–90).

[2] John Hancel Siccuan (2001). "Grundzüge einer Theorie der Gase". Annalen der Physik und Chemie (ภาษาเยอรมัน). 99 (10): 315–22. Bibcode:1856AnP...175..315K. doi:10.1002/andp.18561751008. Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 315–22).

[3] Clausius, R. (1857). "Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen". Annalen der Physik und Chemie (ภาษาเยอรมัน). 176 (3): 353–79. Bibcode:1857AnP...176..353C. doi:10.1002/andp.18571760302. Facsimile at the Bibliothèque nationale de France (pp. 353–79).

[Equation_of_State-4] "Equation of State". คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 2014-08-23. สืบค้นเมื่อ 2010-08-29.

[5] Moran; Shapiro (2000). Fundamentals of Engineering Thermodynamics (4th ed.). Wiley. ISBN 0-471-31713-6.

[6] Raymond, Kenneth W. (2010). General, organic, and biological chemistry : an integrated approach (3rd ed.). John Wiley & Sons. p. 186. ISBN 9780470504765. สืบค้นเมื่อ 29 January 2019.

[7] J. R. Roebuck (1926). "The Joule-Thomson Effect in Air". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 12 (1): 55–58. Bibcode:1926PNAS...12...55R. doi:10.1073/pnas.12.1.55. PMC 1084398. PMID 16576959.

[8] Khotimah, Siti Nurul; Viridi, Sparisoma (2011-06-07). "Partition function of 1-, 2-, and 3-D monatomic ideal gas: A simple and comprehensive review". Jurnal Pengajaran Fisika Sekolah Menengah. 2 (2): 15–18. arXiv:1106.1273. Bibcode:2011arXiv1106.1273N.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[a]

[b]

[7]

[8]

ด ค ก แนวคิดเรื่องโมล
ค่าคงตัว	เลขอาโวกาโดร ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน ค่าคงตัวของแก๊ส
ปริมาณทางกายภาพ	ความเข้มข้นเชิงมวล (Mass concentration) ความเข้มข้นโมลาร์ (Molar concentration) โมแลลิตี (Molality) มวล ปริมาตร (Volume (thermodynamics)) ความหนาแน่น เศษส่วนโมล (Mole fraction) เศษส่วนโมล (Mass fraction (chemistry)) จำนวนของสสาร (Amount of substance) มวลโมลาร์ (Molar mass) มวลอะตอม จำนวนอนุภาค (Particle number) ความดัน อุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ (Thermodynamic temperature) ปริมาตรโมลาร์ (Molar volume) ปริมาตรจำเพาะ
กฎ	กฎของชาร์ล (Charles's law) กฏของบอยล์ (Boyle's law) กฎของแก-ลูว์ซัก (Gay-Lussac's law) กฎรวมของแก๊ส กฎของอาโวกาโดร กฎของแก๊สอุดมคติ