เหตุการณ์ไม่เกิดร่วม

เหตุการณ์ไม่เกิดร่วม (อังกฤษ: mutually exclusive events) หมายถึงเหตุการณ์สองเหตุการณ์ขึ้นไปที่ไม่สามารถเกิดขึ้นในเวลาเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่นการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ ผลลัพธ์จะต้องออกหัวหรือออกก้อยอย่างใดอย่างหนึ่ง ไม่สามารถออกทั้งคู่พร้อมกัน

ในตัวอย่างการโยนเหรียญนั้น ผลลัพธ์ทั้งสองเป็นเหตุการณ์ถ้วนทั่วโดยรวม (collectively exhaustive events) กล่าวคือ ผลลัพธ์อย่างน้อยหนึ่งอย่างจะต้องเกิดขึ้น ดังนั้นความเป็นไปได้ทั้งสองอย่างนี้คือความเป็นไปได้ทั้งหมด อย่างไรก็ดี เหตุการณ์ไม่เกิดร่วมไม่ใช่ว่าจะเป็นเหตุการณ์ถ้วนทั่วโดยรวมได้ทุกชนิด ยกตัวอย่างการกลิ้งลูกเต๋าหกหน้า ผลลัพธ์ที่ออก 1 และออก 4 ไม่เกิดร่วมกัน แต่ก็ยังไม่ถ้วนทั่วโดยรวม เพราะยังมีความเป็นไปได้ที่จะออก 2, 3, 5, 6 เหลืออยู่อีก

ตรรกศาสตร์

ในทางตรรกศาสตร์ ประพจน์สองประพจน์ที่ไม่เกิดร่วมกัน คือประพจน์ที่ไม่สามารถเป็นจริงได้ในเวลาเดียวกัน ศัพท์อีกคำหนึ่งที่ใช้แทนความไม่เกิดร่วมก็คือ "ไม่มีส่วนร่วม" (disjoint) การที่จะบอกว่าประพจน์สองประพจน์ใด ๆ ไม่เกิดร่วมนั้นขึ้นอยู่กับความแวดล้อม ซึ่งหมายความว่า ประพจน์หนึ่งจะไม่สามารถเป็นจริงได้ถ้าอีกประพจน์หนึ่งเป็นจริง หรืออย่างน้อยมีประพจน์หนึ่งที่ไม่สามารถเป็นจริง ศัพท์ "ไม่เกิดร่วมเป็นคู่" (pairwise mutually exclusive) จึงหมายถึงประพจน์ทั้งสองที่ไม่สามารถเป็นจริงได้พร้อมกัน

ความน่าจะเป็น

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เหตุการณ์ ${\textstyle E_{1},E_{2},...E_{n}}$ จะเรียกว่าไม่เกิดร่วม ถ้าการเกิดเหตุการณ์หนึ่งบอกเป็นนัยโดยอัตโนมัติว่า เหตุการณ์อื่นอีก ${\textstyle n-1}$ เหตุการณ์จะไม่เกิด ดังนั้นเหตุการณ์ไม่เกิดร่วมสองเหตุการณ์จะไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ พูดในแบบรูปนัยว่า อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ทุก ๆ สองเหตุการณ์นั้นว่าง (เหตุการณ์ว่าง) นั่นคือ ${\textstyle A}$ และ ${\textstyle B\neq \varnothing }$ ผลสืบเนื่องก็คือ เหตุการณ์ไม่เกิดร่วมมีสมบัติ ${\textstyle P(A\cap B)=0}$

ยกตัวอย่าง เราไม่สามารถหยิบไพ่ป๊อกหนึ่งใบให้ได้สีแดงและดอกจิกพร้อมกันได้ เพราะว่าดอกจิกเป็นสีดำเสมอ ถ้าเราหยิบไพ่หนึ่งใบจากสำรับ ไพ่ใบนั้นจะเป็นสีแดง (โพแดงหรือข้าวหลามตัด) หรือสีดำ (ดอกจิกหรือโพดำ) เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง เมื่อ $A$ กับ $B$ ไม่เกิดร่วมกัน จะได้ว่า ${\textstyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$ เราอาจตั้งคำถามว่า "มีความน่าจะเป็นเท่าไรที่จะหยิบได้ไพ่สีแดงหรือดอกจิก" ปัญหาข้อนี้แก้ได้ด้วยการบวกความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่สีแดง กับความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่ดอกจิก ไพ่สีแดงมี 26 ใบ และไพ่ดอกจิกมี 13 ใบ จากสำรับมาตรฐาน 52 ใบ ดังนั้นคำตอบคือ 26/52 + 13/52 = 39/52 = 3/4

เราจะต้องหยิบไพ่อย่างน้อยสองใบเพื่อให้ได้ทั้งไพ่สีแดงกับไพ่ดอกจิก ความน่าจะเป็นข้อเดิมโดยการหยิบไพ่สองใบก็ขึ้นอยู่กับว่า ใบแรกที่หยิบออกมาจะใส่กลับคืนเข้าสำรับก่อนหยิบใบที่สองหรือไม่ เพราะว่าถ้าไม่ใส่กลับคืน จำนวนไพ่ในสำรับจะลดลงใบหนึ่งหลังจากหยิบครั้งแรกไปแล้ว ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เอกเทศทั้งสอง (ได้ไพ่สีแดงก่อนแล้วตามด้วยไพ่ดอกจิก) จะนำมาคูณกันแทนที่จะบวก ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่สีแดงและดอกจิกตามลำดับโดยไม่ใส่คืนสำรับเท่ากับ 26/52 × 13/51 = 338/2652 = 13/102 ส่วนความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่สีแดงและดอกจิกตามลำดับโดยใส่คืนสำรับก่อนเท่ากับ 26/52 × 13/52 = 338/2704 = 13/104

คำว่า "หรือ" ในทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้น เผื่อความเป็นไปได้ที่จะเกิดเหตุการณ์ทั้งสองพร้อมกันด้วย ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งหรือสองเหตุการณ์จะเกิดขึ้นเขียนว่า ${\textstyle P(A\cup B)}$ และโดยทั่วไปก็มีค่าเท่ากับ ${\textstyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$ เพราะฉะนั้นหากเราถามว่า "มีความน่าจะเป็นเท่าไรที่จะหยิบได้ไพ่สีแดงหรือคิง" การหยิบได้ไพ่คิงสีแดง ไพ่อื่นสีแดง หรือไพ่คิงสีดำ ก็จะเข้าเงื่อนไขทั้งหมด ไพ่สีแดงมี 26 ใบ และไพ่คิงมี 4 ใบ ซึ่งในจำนวนนั้น 2 ใบก็เป็นสีแดง จากสำรับมาตรฐาน 52 ใบ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่สีแดงหรือคิงก็คือ 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52 = 7/13 อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้แก่เหตุการณ์ไม่เกิดร่วม พจน์สุดท้ายในสูตร ${\textstyle P(A\cap B)}$ ก็จะเป็นศูนย์ สูตรก็จะลดรูปลงเหลือเพียงสูตรที่ได้กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อน