เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (อังกฤษ: conjugate transpose) ของเมทริกซ์ A มิติ m×n ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ A ซึ่งเปลี่ยนสมาชิกทั้งหมดเป็นสังยุค เขียนแทนด้วยเมทริกซ์ A* หรือสามารถนิยามได้จาก

(A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}

เมื่อ 1 ≤ i ≤ n และ 1 ≤ j ≤ m และขีดเส้นตรงหมายถึงสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (อาทิ สังยุคของ a + bi คือ a − bi เป็นต้น)

นิยามดังกล่าวสามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้

A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}

ซึ่ง $A^{\mathrm {T} }\!$ คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยน และ ${\overline {A}}$ คือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นสังยุค

ชื่ออื่นๆ ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคเช่น เมทริกซ์สลับเปลี่ยนเอร์มีเชียน (Hermitian transpose) เมทริกซ์สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugate) ทรานสจูเกต (transjugate) หรือแม้แต่ เมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ซึ่งคำสุดท้ายนี้อาจหมายถึงเมทริกซ์แอดจูเกต (adjugate matrix) ก็ได้ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ได้อีกหลายรูปแบบ เช่น

$A^{*}\!$ หรือ $A^{\mathrm {H} }\!$ ใช้ในพีชคณิตเชิงเส้น
$A^{\dagger }$ ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัม
$A^{+}\!$ ใช้ในตัวผกผันเทียมมัวร์-เพนโรส (Moore-Penrose pseudoinverse)

ตัวอย่าง

กำหนดให้เมทริกซ์ A

A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\\\end{bmatrix}}

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A คือ

A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\\\end{bmatrix}}

คุณสมบัติ

$(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}\!$ สำหรับเมทริกซ์ A และ B ใดๆ ที่มีมิติเท่ากัน
$(rA)^{*}=r^{*}A^{*}\!$ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน r และเมทริกซ์ A ใดๆ $r^{*}$ ในที่นี้หมายถึงสังยุคของ r
$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}\!$ สำหรับเมทริกซ์ A มิติ m×n และเมทริกซ์ B มิติ n×p (สามารถคูณกันได้)
$(A^{*})^{*}=A\!$ สำหรับเมทริกซ์ A ใดๆ
ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสแล้ว $\det(A^{*})=(\det A)^{*}\!$ และ $\operatorname {tr} (A^{*})=(\operatorname {tr} A)^{*}\!$ (ดูเพิ่มที่ดีเทอร์มิแนนต์และรอยเมทริกซ์)
A* จะสามารถมีตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อ A มีตัวผกผัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวเราจะได้ว่า $(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}\!$
ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของเมทริกซ์ A* คือสังยุคของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A