สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส

ชีวลักษณ์ (Animation) สาธิตค่าสามค่าที่น้อยที่สุดของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส คือ 3² + 4² = 5²

สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (อังกฤษ: Pythagorean triple) ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกสามจำนวน คือ a, b และ c โดยที่ a² + b² = c² สามสิ่งอันดับดังกล่าวนี้มักถูกเขียนเป็น (a, b, c) ซึ่งตัวอย่างที่รู้จักกันดี คือ (3, 4, 5) ถ้า (a, b, c) เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส แล้วจะได้ (ka, kb, kc) และมีจำนวนเต็มบวก k ใด ๆ โดยถ้ารูปสามเหลี่ยมมีความยาวด้านเท่ากับค่าของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสแล้วจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเรียกว่า รูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

ปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (primitive Pythagorean triple) คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a, b และ c เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (coprime) ซึ่งกล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 และ -1 เช่น (3, 4, 5) เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ซึ่งในขณะที่ (6, 8, 10) ไม่เป็นเนื่องจากมีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 คือ 2 และสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถย่อ/ขยาย ให้เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสที่มีเอกลักษณ์ได้ โดยการหาร (a, b, c) ด้วยตัวหารร่วมมาก (greatest common divisor) ซึ่งในทางกลับกัน สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถหาได้โดยการคูณองค์ประกอบของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสด้วยจำนวนเต็มบวก

ชื่อของสามสิ่งอันดับของพีทาโกรัสนั้นมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem)ซึ่งอธิบายว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูปนั้นมีความความสัมพันธ์ระหว่างด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้านและด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามสูตร $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสสามอธิบายความยาวด้านทั้งสามที่เป็นจำนวนเต็มของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม จะไม่อยู่ในรูปของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว $a=b=1$ และ $c={\sqrt {2}}$ ซึ่งรูปสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ $(1,1,{\sqrt {2}})$ ไม่เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเนื่องจากรากที่สองของสองไม่เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ อีกเหตุผลหนึ่งคือ $1$ และ ${\sqrt {2}}$ ไม่มีตัวคูณร่วมที่เป็นจำนวนเต็มเพราะ ${\sqrt {2}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสนั้นเป็นที่รู้จักกันตั้งแต่ยุคโบราณ รายงานที่เก่าที่สุดที่มีการบันทึกมาจาก Plimpton 322 ซึ่งเป็นแผ่นจารึกดินเหนียวของชาวบาบิโลเนียที่มีอายุประมาณปี 1800 ก่อนคริสตกาลที่ถูกเขียนด้วยระบบเลขฐานหกสิบ (sexagesimal)

เมื่อหาคำตอบในรูปของจำนวนเต็ม สมการ a² + b² = c² คือ สมการไดโอเฟนไทน์ (Diophantine equation) ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในการหาคำตอบที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักกันในชื่อของ สมการไม่เชิงเส้นไดโอเฟนไทน์ (nonlinear Diophantine equation)

เชิงอรรถและรายการอ้างอิง

• Alperin, Roger C. (2005), "The modular tree of Pythagoras" (PDF), American Mathematical Monthly, vol. 112 no. 9, pp. 807–816, CiteSeerX 10.1.1.112.3085, doi:10.2307/30037602, JSTOR 30037602, MR 2179860
• Berggren, B. (1934), "Pytagoreiska trianglar", Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (ภาษาสวีเดน), vol. 17, pp. 129–139
• Barning, F.J.M. (1963), "Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een generatieproces met behulp van unimodulaire matrices" (PDF), Math. Centrum Amsterdam Afd. Zuivere Wisk. (ภาษาดัตช์), vol. ZW-011, p. 37
• Eckert, Ernest (1992), "Primitive Pythagorean triples", The College Mathematics Journal, vol. 23 no. 5, pp. 413–417, doi:10.2307/2686417, JSTOR 2686417
• Elkies, Noam, Pythagorean triples and Hilbert's theorem 90 (PDF)
• Heath, Thomas (1956), The Thirteen Books of Euclid's Elements Vol. 1 (Books I and II) (2nd ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-60088-8
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77171950
• Martin, Artemas (1875), "Rational right angled triangles nearly isosceles", The Analyst, vol. 3 no. 2, pp. 47–50, doi:10.2307/2635906, JSTOR 2635906
• McCullough, Darryl (2005), "Height and excess of Pythagorean triples" (PDF), Mathematics Magazine, vol. 78 no. 1, pp. 26–44, doi:10.1080/0025570X.2005.11953298
• Romik, Dan (2008), "The dynamics of Pythagorean triples" (PDF), Trans. Amer. Math. Soc., vol. 360 no. 11, pp. 6045–6064, arXiv:math.DS/0406512, doi:10.1090/S0002-9947-08-04467-X, MR 2425702
• Teigen, M.G.; Hadwin, D.W. (1971), "On Generating Pythagorean Triples", The American Mathematical Monthly, vol. 78 no. 4, pp. 378–379, doi:10.2307/2316903, JSTOR 2316903
• Trautman, Andrzej (1998), "Pythagorean spinors and Penrose twistors", ใน S.A. Hugget; L.J. Mason; K.P. Tod; S.T. Tsou; N.M.J. Woodhouse (บ.ก.), Geometric universe (Postscript)

แหล่งข้อมูลอื่น

• Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
• Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
• Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
• Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions
•  
• Interactive Calculator for Pythagorean Triples
• The negative Pell equation and Pythagorean triples
• Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
• Price, H. Lee (2008), The Pythagorean Tree: A New Species, arXiv:0809.4324
• Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2–3, in "A Friendly Introduction to Number Theory" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
• Pythagorean Triples at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
• Pythagorean Triplets
• The Remarkable Incircle of a Triangle
• Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
• Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
• The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot
• Weisstein, Eric W., "Pythagorean Triple", MathWorld