รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

โคไซน์และไซน์รอบวงกลมหนึ่งหน่วย

ในวิชาคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ และเป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปรมุม เมื่อแต่ละข้างของสมการสามารถหาค่าได้ ในทางเรขาคณิต เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ เอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมุมหนึ่งมุมขึ้นไป แตกต่างจากเอกลักษณ์รูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับมุมเช่นกัน แต่จะรวมถึงความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วย

เอกลักษณ์เหล่านี้เป็นประโยชน์ เมื่อใดที่มีปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การประยุกต์ที่สำคัญ คือ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นวิธีการที่ต้องใช้การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นลำดับแรกก่อน แล้วจึงหาผลลัพธ์ของปริพันธ์โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

สัญกรณ์

มุม

บทความนี้จะใช้อักษรกรีก เช่น แอลฟา (α), บีตา (β), แกมมา (γ), และทีตา (θ) เพื่อใช้แทนมุม และมีหน่วยในการวัดขนาดของมุมที่แตกต่างกันที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ได้แก่ องศา เรเดียน และแกรเดียน (แกร็ด หรือก็อน)

1 รอบเต็มของวงกลม  = 360 องศา = 2π เรเดียน = 400 ก็อน

ตารางต่อไปนี้แสดงการแปลงหน่วยและค่าของมุมทั่วไป

การแปลงมุมทั่วไป

รอบ	องศา	เรเดียน	แกรเดียน	ไซน์	โคไซน์	แทนเจนต์
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$0^{g}$	$0$	$1$	$0$
${\dfrac {1}{12}}$	$30^{\circ }$	${\dfrac {\pi }{6}}$	$33{\dfrac {1}{3}}^{g}$	${\dfrac {1}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
${\dfrac {1}{8}}$	$45^{\circ }$	${\dfrac {\pi }{4}}$	$50^{g}$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$
${\dfrac {1}{6}}$	$60^{\circ }$	${\dfrac {\pi }{3}}$	$66{\dfrac {2}{3}}^{g}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\dfrac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
${\dfrac {1}{4}}$	$90^{\circ }$	${\dfrac {\pi }{2}}$	$100^{g}$	$1$	$0$	$\infty$
${\dfrac {1}{3}}$	$120^{\circ }$	${\dfrac {2\pi }{3}}$	$133{\dfrac {1}{3}}^{g}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$
${\dfrac {3}{8}}$	$135^{\circ }$	${\dfrac {3\pi }{4}}$	$150^{g}$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1$
${\dfrac {5}{12}}$	$150^{\circ }$	${\dfrac {5\pi }{6}}$	$166{\dfrac {2}{3}}^{g}$	${\dfrac {1}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
${\dfrac {1}{2}}$	$180^{\circ }$	$\pi$	$200^{g}$	$0$	$-1$	$0$
${\dfrac {7}{12}}$	$210^{\circ }$	${\dfrac {7\pi }{6}}$	$233{\dfrac {1}{3}}^{g}$	$-{\dfrac {1}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
${\dfrac {5}{8}}$	$225^{\circ }$	${\dfrac {5\pi }{4}}$	$250^{g}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$
${\dfrac {2}{3}}$	$240^{\circ }$	${\dfrac {4\pi }{3}}$	$266{\dfrac {2}{3}}^{g}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
${\dfrac {3}{4}}$	$270^{\circ }$	${\dfrac {3\pi }{2}}$	$300^{g}$	$-1$	$0$	$\infty$
${\dfrac {5}{6}}$	$300^{\circ }$	${\dfrac {5\pi }{3}}$	$333{\dfrac {1}{3}}^{g}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\dfrac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$
${\dfrac {7}{8}}$	$315^{\circ }$	${\dfrac {7\pi }{4}}$	$350^{g}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1$
${\dfrac {11}{12}}$	$330^{\circ }$	${\dfrac {11\pi }{6}}$	$366{\dfrac {2}{3}}^{g}$	$-{\dfrac {1}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
$1$	$360^{\circ }$	$2\pi$	$400^{g}$	$0$	$1$	$0$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์และโคไซน์ของมุม บางครั้งสามารถเขียนย่อได้เป็น sin(θ) และ cos(θ) ตามลำดับ เมื่อ θ เป็นขนาดของมุม แต่เราสามารถเขียนละวงเล็บที่อยู่หน้าและหลังขนาดของมุมได้เป็น sin θ และ cos θ

ฟังก์ชันไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันโคไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันแทนเจนต์ (tan) ของมุม คือ อัตราส่วนของไซน์และโคไซน์

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

และสุดท้าย ฟังก์ชันส่วนกลับ ได้แก่ เซแคนต์ (sec), โคเซแคนต์ (csc), และโคแทนเจนต์ (cot) ซึ่งเป็นส่วนกลับการคูณของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตามลำดับ

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

นิยามเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์อัตราส่วน

ฟังก์ชันผกผัน

บทความหลัก: ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันผกผันของไซน์ เรียกว่า อินเวอร์สไซน์ (sin⁻¹) หรือ อาร์กไซน์ (arcsin หรือ asin) โดยที่

$\sin(\arcsin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq 1$

และ

$\arcsin(\sin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}$

บทความนี้จะใช้สัญกรณ์ข้างล่างนี้สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ฟังก์ชัน	sin	cos	tan	sec	csc	cot
ฟังก์ชันผกผัน	arcsin	arccos	arctan	arcsec	arccsc	arccot

รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

เมื่อกำหนด $A$ เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้

$\sin A\cdot \csc A=1$

$\cos A\cdot \sec A=1$

$\tan A\cdot \cot A=1$

$\cos A\cdot \tan A=\sin A$

$\sin A\cdot \cot A=\cos A$

$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\,$

$\sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\,$

$\csc ^{2}A-\cot ^{2}A=1\,$

เมื่อกำหนด $x$ และ $y$ เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\tan \left(x+y\right)={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}$

$\tan \left(x-y\right)={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}$

$\sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}$

$\cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}$

$2\sin x\cos y=\sin \left(x+y\right)+\sin \left(x-y\right)$

$2\cos x\sin y=\sin \left(x+y\right)-\sin \left(x-y\right)$

$2\cos x\cos y=\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right)$

$2\sin x\sin y=\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right)$

$\sin 2x=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}}$

$\cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}}$

$\tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}$

$\sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x$

$\cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x$

$\tan 3x={\frac {3\tan x-\tan ^{3}x}{1-3\tan ^{2}x}}$