ผู้ใช้:Zyaxious/กระบะทราย

จำนวนจุดลอยตัวความเที่ยงหนึ่งเท่า

ในการการประมวลสารสนเทศ จำนวนจุดลอยตัวความเที่ยงหนึ่งเท่า (single-precision floating-point number) คือรูปแบบจำนวนทางคอมพิวเตอร์ชนิดหนึ่ง ซึ่งใช้เนื้อที่ 32 บิต (4 ไบต์) ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์

ตัวแปรจำนวนจุดลอยตัวสามารถแทนค่าจำนวนที่มีพิสัยกว้างกว่าตัวแปรจำนวนจุดตรึงที่มีความกว้างบิตเท่ากันโดยการสูญเสียนัยสำคัญ ตัวแปรจำนวนเต็มแบบคิดเครื่องหมาย 32 บิต มีค่าสูงสุดเท่ากับ 2³¹ − 1 หรือ 2,147,483,647 ซึ่งในทางตรงกันข้ามตัวแปรจำนวนจุดลอยตัวฐานสอง 32 บิตตาม IEEE 754 มีค่าสูงสุดเท่ากับ (2 − 2⁻²³) × 2¹²⁷ ≈ 3.402823 × 10³⁸ จำนวนเต็มใด ๆ ที่มีเลขโดดฐานสิบไม่เกิน 6 หลัก และจำนวนจริงใด ๆ ที่เขียนให้อยู่ในรูปของ 2ⁿ ได้โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ -126 ถึง 127 สามารถแปลงค่าให้เป็นจำนวนจุดลอยตัว IEEE 754 โดยไม่สูญเสียความเที่ยง

ในมาตรฐาน IEEE 754-2008 รูปแบบฐานสอง 32 บิตเรียกอย่างเป็นทางการว่า binary32 ซึ่งในมาตรฐาน IEEE 754-1985 เรียกว่า single และมาตรฐาน IEEE 754 ได้กำหนดรูปแบบจำนวนจุดลอยตัวเพิ่มเติม อาทิ ความเที่ยงสองเท่าฐานสอง 64 บิต และแทนจำนวนฐานสิบ

หนึ่งในภาษาโปรแกรมแรกที่รองรับชนิดข้อมูลจำนวนจุดลอยตัวความเที่ยงทั้งหนึ่งและสองเท่าคือภาษาฟอร์แทรน ก่อนการนำไปใช้อย่างแพร่หลายตาม IEEE 754-1985 การแทนค่าและคุณสมบัติของรูปแบบข้อมูลจำนวนจุดลอยตัวขึ้นอยู่กับผู้ผลิตฮาร์ดแวร์และแบบจำลองคอมพิวเตอร์ รวมถึงการตัดสินใจของนักออกแบบภาษาโปรแกรม เช่น ชนิดจำนวนจุดลอยตัวความเที่ยงหนึ่งเท่าของภาษาจีดับเบิลยูเบสิก เป็นรูปแบบจำนวนจุดลอยตัว 32 บิตตาม MBF

ความเที่ยงหนึ่งเท่าเรียกว่า REAL ในภาษาฟอร์แทรน SINGLE-FLOAT ในภาษาคอมมอนลิสป์ float ในภาษาซี ภาษาซีพลัสพลัส, ภาษาซีชาร์ป, ภาษาจาวา Float ในภาษาแฮสเกลล์ และ Single ในภาษาอ็อบเจกต์ปาสกาล (ภาษาเดลไฟล์), ภาษาวิชวลเบสิก, และแมตแล็บ ส่วนการเรียก float ในภาษาไพทอน, ภาษารูบี, ภาษาพีเอชพี, ภาษาโอเคเมิล และ single ในภาษาอ็อกเทฟเวอร์ชันก่อน 3.2 หมายถึงตัวเลขความเที่ยงสองเท่า ในการดำเนินการของภาษาโพสต์สคริปต์และบางระบบฝังตัวรองรับเพียงความเที่ยงหนึ่งเท่าเท่านั้น

รูปแบบจุดลอยตัวฐานสองความเที่ยงหนึ่งเท่าตาม IEEE-754: binary32

มาตรฐาน IEEE 754 กำหนดให้ binary32 มี

• บิคเครื่องหมาย: 1 บิต
• ความกว้างเลขชี้กำลัง: 8 บิต
• ความเที่ยงซิกนิฟิแคนด์: 24 บิต (ซ่อนไว้ 1 บิต)

ซึ่งมีความเที่ยงเลขโดดฐานสิบตั้งแต่ 6 ถึง 9 หลัก หากสายอักขระที่มีจำนวนเลขโดดฐานสิบไม่เกิน 6 หลักซึ่งแปลงให้เป็นจำนวนจุดลอยตัวความเที่ยงหนึ่งเท่าตาม IEEE 754 แล้วแปลงกลับให้เป็นสายอักขระที่มีจำนวนเลขโดดฐานสิบเท่ากัน ผลลัพธ์ที่ได้ควรตรงกับสายอักขระเดิม และหากจำนวนจุดลอยตัวความเที่ยงหนึ่งเท่าตาม IEEE 754 ซึ่งแปลงให้เป็นสายอักขระที่มีจำนวนเลขโดดฐานสิบไม่ต่ำกว่า 9 หลัก แล้วแปลงกลับให้เป็นการแทนจำนวนความเที่ยงหนึ่งเท่า ผลลัพธ์ที่ได้ต้องตรงกับจำนวนเดิม

บิตเครื่องหมาย กำหนดเครื่องหมายของจำนวนและซิกนิฟิแคนต์ เลขชี้กำลังเป็นได้ทั้งจำนวนเต็มแบบคิดเครื่องหมาย 8 บิต ตั้งแต่ −128 ถึง 127 (คอมพลีเมนต์ฐานสอง) หรือจำนวนเต็มแบบไม่คิดเครื่องหมาย 8 บิต ตั้งแต่ 0 ถึง 255 ซึ่งเป็นแบบไบแอสที่ยอมรับในคำนิยามของ binary32 ตาม IEEE 754 หากใช้รูปแบบจำนวนเต็มแบบไม่คิดเครื่องหมาย ค่าของเลขชี้กำลังที่ใช้ในเลขคณิตจะเลื่อนตามค่าของไบแอส ซึ่งในกรณีของ binary32 ตาม IEEE 754 คือ 127 (กล่าวคือการที่จะทำให้ 2^{e − 127} มีค่าเท่ากับหนึ่ง e ต้องมีค่าเท่ากับ 127) การที่เลขชี้กำลังมีค่าตั้งแต่ −126 ถึง 127 นั้นเนื่องจากเลขชี้กำลังที่มีค่า −127 และ 128 สงวนไว้สำหรับจำนวนพิเศษ

ซิกนิฟิแคนด์แท้จริง ประกอบด้วยบิตเศษส่วน 23 บิตซึ่งอยู่ด้านขวาของจุดทศนิยมฐานสองและบิตนำที่ซ่อนไว้ (อยู่ด้านซ้ายของจุดทศนิยมฐานสอง) ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 เว้นแต่ในกรณีที่เลขชี้กำลังที่เก็บบันทึกไว้เป็นศูนย์ ด้วยเหตุนี้จึงมีบิตเศษส่วนปรากฏอยู่ในรูปแบบหน่วยความจำเพียง 23 บิตเท่านั้น แต่ความเที่ยงโดยรวมคือ 24 บิต (เทียบเท่ากับ log₁₀(2²⁴) ≈ 7.225 หลัก) รูปแบบของบิตเป็นดังต่อไปนี้

ค่าแท้จริงโดยสมมติว่ามีข้อมูลที่ประกอบด้วยเครื่องหมาย sign, เลขชี้กำลัง e (จำนวนเต็มแบบไม่คิดเครื่องหมาย 8 บิต) และเศษส่วน 23 บิตในรูปแบบ binary32 ได้จาก

$(-1)^{b_{31}}\times 2^{(b_{30}b_{29}\dots b_{23})_{2}-127}\times (1.b_{22}b_{21}\dots b_{0})_{2}$

ซึ่งในฐานสิบ คือ

$v=(-1)^{\mathrm {sign} }\times 2^{(\mathrm {e} -127)}\times {\Biggl (}1+\sum _{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i}{\Biggl )}$

โดยในตัวอย่างนี้

• $\mathrm {sign} =b_{31}=0$
• $(-1)^{\mathrm {sign} }=(-1)^{0}=1\in \{-1,1\}$
• $\mathrm {e} =b_{30}b_{29}\dots b_{23}=\sum _{i=0}^{7}b_{23+i}2^{i}=123\in \{1,\dots ,(2^{8}-1)-1\}$
• $2^{\mathrm {e} -127}=2^{123-127}=2^{-3}\in \{2^{-126},\dots ,2^{127}\}$
• $1.b_{22}b{21}\dots b_{0}=1+\sum _{i=1}^{23}b_{23-i}2^{-i}=1+1\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2}=1.75\in \{1,1+2^{-23},2-2^{-23}\}$

จะได้ว่า

$v=1\times 2^{-4}\times 1.75=0.046875$

หมายเหตุ:

• $1+2^{-23}\approx 1.000000119$
• $2-2^{-23}\approx 1.999999881$
• $2^{-126}\approx 1.17549435\times 10^{-38}$
• $2^{127}\approx 1.70141183\times 10^{38}$

การเข้ารหัสเลขชี้กำลัง

เลขชี้กำลังจุดลอยตัวฐานสองความเที่ยงหนึ่งเท่าเข้ารหัสโดยใช้การแทนค่าออฟเซตฐานสอง โดยออฟเซตศูนย์คือ 127 หรือเรียกอีกอย่างว่าไบแอสเลขชี้กำลังในมาตรฐาน IEEE 754

• e_min = 01_H−7F_H = −126
• e_max = FE_H−7F_H = 127
• ไบแอสเลขชี้กำลัง = 7F_H = 127

ฉะนั้น การหาค่าแท้จริงของเลขชี้กำลังที่นิยามไว้ในการแทนค่าออฟไซตฐานสอง เลขชี้กำลังที่เก็บบันทึกไว้ต้องลบด้วยออฟเซต 127

เลขชี้กำลัง 00_H และ FF_H ที่เก็บบันทึกไว้ตีความหมายเป็นพิเศษ

เลขชี้กำลัง	ซิกนิฟิแคนด์เป็นศูนย์	ซิกนิฟิแคนด์ไม่เป็นศูนย์	สูตร
00H	ศูนย์, -0	จำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน	(−1)บิตเครื่องหมาย×2−126× 0.บิตซิกนิฟิแคนด์
01H, ..., FEH	จำนวนบรรทัดฐาน		(−1)บิตเครื่องหมาย×2บิตเลขชี้กำลัง−127× 1.บิตซิกนิฟิแคนด์
FFH	±อนันต์	NaN (quiet, signaling)

ค่าสูงสุดของจำนวนบรรทัดฐานบวกคือ (2−2⁻²³) × 2¹²⁷ ≈ 3.4 × 10³⁸ ค่าต่ำสุดของจำนวนบรรทัดฐานบวกคือ 2⁻¹²⁶ ≈ 1.18 × 10⁻³⁸ และค่าต่ำสุดของจำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐานบวกคือ 2⁻¹⁴⁹ ≈ 1.4 × 10⁻⁴⁵

การแปลงค่าจากเลขฐานสิบเป็นรูปแบบ binary32

มาตรฐาน IEEE 754 ระบุถึงการแปลงค่า (รวมถึงลักษณะของการปัดเศษส่วน) ของจำนวนจริงให้เป็นรูปแบบ binary32 อย่างเข้มงวด

ทีนี้เราสามารถแสดงวิธีการแปลงค่าจำนวนจริงฐานสิบให้เป็นรูปแบบ binary32 ตาม IEEE 754 โดยทำตามขั้นตอนดังต่อไปนี้