ผู้ใช้:Robosorne/กระบะทราย 4

The theory of optimal control is concerned with operating a dynamic system at minimum cost. The case where the system dynamics are described by a set of linear differential equations and the cost is described by a quadratic functional is called the LQ problem. One of the main results in the theory is that the solution is provided by the linear-quadratic regulator (LQR), a feedback controller whose equations are given below. The LQR is an important part of the solution to the LQG problem. Like the LQR problem itself, the LQG problem is one of the most fundamental problems in control theory.

General description

This means that the settings of a (regulating) controller governing either a machine or process (like an airplane or chemical reactor) are found by using a mathematical algorithm that minimizes a cost function with weighting factors supplied by a human (engineer). The "cost" (function) is often defined as a sum of the deviations of key measurements from their desired values. In effect this algorithm finds those controller settings that minimize the undesired deviations, like deviations from desired altitude or process temperature. Often the magnitude of the control action itself is included in this sum so as to keep the energy expended by the control action itself limited.

In effect, the LQR algorithm takes care of the tedious work done by the control systems engineer in optimizing the controller. However, the engineer still needs to specify the weighting factors and compare the results with the specified design goals. Often this means that controller synthesis will still be an iterative process where the engineer judges the produced "optimal" controllers through simulation and then adjusts the weighting factors to get a controller more in line with the specified design goals.

The LQR algorithm is, at its core, just an automated way of finding an appropriate state-feedback controller. As such it is not uncommon to find that control engineers prefer alternative methods like full state feedback (also known as pole placement) to find a controller over the use of the LQR algorithm. With these the engineer has a much clearer linkage between adjusted parameters and the resulting changes in controller behavior. Difficulty in finding the right weighting factors limits the application of the LQR based controller synthesis.

Finite-horizon, continuous-time LQR

For a continuous-time linear system, defined on $t\in [t_{0},t_{1}]$, described by

${\dot {x}}=Ax+Bu$

with a quadratic cost function defined as

$J={\frac {1}{2}}x^{T}(t_{1})F(t_{1})x(t_{1})+\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru\right)dt$

the feedback control law that minimizes the value of the cost is

$u=-Kx\,$

where $K$ is given by

$K=R^{-1}B^{T}P(t)\,$

and $P$ is found by solving the continuous time Riccati differential equation.

$A^{T}P(t)+P(t)A-P(t)BR^{-1}B^{T}P(t)+Q=-{\dot {P}}(t)\,$

The first order conditions for J_min are

(i) State equation

${\dot {x}}=Ax+Bu$

(ii) Co-state equation

$-{\dot {\lambda }}=-Qx+A^{T}\lambda$

(iii) Stationary equation

$0=Ru+B^{T}\lambda$

(iv) Boundary conditions

$x(t_{0})=x_{0}$

and $\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$

Infinite-horizon, continuous-time LQR

For a continuous-time linear system described by

${\dot {x}}=Ax+Bu$

with a cost functional defined as

$J=\int _{0}^{\infty }\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru\right)dt$

the feedback control law that minimizes the value of the cost is

$u=-Kx\,$

where $K$ is given by

$K=R^{-1}B^{T}P\,$

and $P$ is found by solving the continuous time algebraic Riccati equation

$A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q=0\,$

Finite-horizon, discrete-time LQR

For a discrete-time linear system described by

$x_{k}=Ax_{k-1}+Bu_{k}\,$

with a performance index defined as

$J=\sum \limits _{k=0}^{N}\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}\right)$

the optimal control sequence minimizing the performance index is given by

$u_{k}=-F_{k}x_{k-1}\,$

where

$F_{k}=(R+B^{T}P_{k}B)^{-1}B^{T}P_{k}A\,$

and $P_{k}$ is found iteratively backwards in time by the dynamic Riccati equation

$P_{k-1}=Q+A^{T}\left(P_{k}-P_{k}B\left(R+B^{T}P_{k}B\right)^{-1}B^{T}P_{k}\right)A$

from initial condition $P_{N}=Q$.

Infinite-horizon, discrete-time LQR

For a discrete-time linear system described by

$x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}\,$

with a performance index defined as

$J=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}\right)$

the optimal control sequence minimizing the performance index is given by

$u_{k}=-Fx_{k}\,$

where

$F=(R+B^{T}PB)^{-1}B^{T}PA\,$

and $P$ is the unique positive definite solution to the discrete time algebraic Riccati equation (DARE)

$P=Q+A^{T}\left(P-PB\left(R+B^{T}PB\right)^{-1}B^{T}P\right)A$.

Note that one way to solve this equation is by iterating the dynamic Riccati equation of the finite-horizon case until it converges.

References

• Kwakernaak, Huibert and Sivan, Raphael (1972). Linear Optimal Control Systems. First Edition. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-51110-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (ลิงก์)

• Sontag, Eduardo (1998). Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. ISBN 0-387-98489-5.

External links

• Quadratic Regulator
• MATLAB function for Linear Quadratic Regulator design

สมการซิลเวสเตอร์ (อังกฤษ: Sylvester equation) มักพบในทฤษฎีระบบควบคุม คือสมการเมทริกซ์ ในรูปแบบ

$AX+XB=C,$

โดยที่ $A,B,X,C$ คือ $n\times n$ เมทริกซ์ $A,B,C$ เป็นเมทริกซ์ทราบค่า และ $X$ คือเมทริกซ์ตัวแปรที่เราต้องการหาค่า

เงื่อนไขการมีอยู่และความเป็นได้อย่างเดียวของผลตอบ

โดยใช้ ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product) และตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ vectorization operator $\operatorname {vec}$ เราสามารถเขียนสมการในรูปแบบใหม่ได้เป็น

$(I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,$

โดยที่ $I_{n}$ คือ $n\times n$ เมทริกซ์เอกลักษณ์ ในรูปแบบนี้เราจะเห็นได้ว่า สมการซิลเวสเตอร์ สามารถเขียนได้อยู่ในรูป ระบบเชิงเส้น ที่มีมิติขนาด $n^{2}\times n^{2}$

ถ้า $A=ULU^{-1}$ และ $B^{T}=VMV^{-1}$ อยู่ในรูป รูปแบบจอร์แดน (Jordan canonical form) ของ $A$ และ $B^{T}$ แล้ว และ $\lambda _{i}$ และ $\mu _{j}$ คือค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของ $A$ และ $B^{T}$ ตามลำดับ แล้ว เราสามารถเขียนสมการในรูป

$I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n}=(V\otimes U)(I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})(V\otimes U)^{-1}.$

เนื่องจาก $(I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})$ คือ เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน (upper triangular) ที่มีสมาชิกตามแนวทแยงเป็น $\lambda _{i}+\mu _{j}$ เมทริกซ์ด้านซ้ายมือจะเป็นเมทริกซ์เอกฐาน (singular) ก็ต่อเมื่อ มี $i$ และ $j$ ที่ทำให้ $\lambda _{i}=-\mu _{j}$.

ดั้งนั้น เราไสามารถพิสูจน์ว่าสมการซิลเวสเตอร์มีคำตอบที่ไม่ซ้ำ (unique solution) ก็ต่อเมื่อ $A$และ $-B$ ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่ร่วมกัน

คำตอบเชิงเลข

ขั้นตอนวิธีของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ‎ (Bartels–Stewart algorithm) สามารถหาคำตอบของสมการซิลเวสเตอร์ โดยการเปลี่ยน $A$ และ $B$ ให้อยู่ในรูปของแบบของชัวร์ ( Schur form) โดยใช้ ขั้นตอนวิธีคิวอาร์ (QR algorithm) และต่อมาแก้สมการที่ติดในรูปเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนด้วย back-substitution ขั้นตอนวิธีดั้งกล่าวมีค่า O $(n^{3})$

ดูเพิ่ม

• สมการเลียปูนอฟ
• สมการริกกาติกเชิงพืชคณิต (Algebraic Riccati equation)

อ้างอิง

• J. Sylvester, Sur l’equations en matrices $px=xq$, C.R. Acad. Sci. Paris, 99 (1884), pp. 67 – 71, pp. 115 – 116.

• R. H. Bartels and G. W. Stewart, Solution of the matrix equation $AX+XB=C$, Comm. ACM, 15 (1972), pp. 820 – 826.

• R. Bhatia and P. Rosenthal, How and why to solve the operator equation $AX-XB=Y$ ?, Bull. London Math. Soc., 29 (1997), pp. 1 – 21.

• S.-G. Lee and Q.-P. Vu, Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum, Linear Algebra and its Applications, 435 (2011), pp. 2097 – 2109.

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

• Online solver for arbitrary sized matrices.

สมการเชบีเชฟ (Chebyshev's equation) คือสมการอนุพันธ์กำลังสองสามัญเชิงเส้น (second order linear Ordinary differential equation) ซึ่งมีรูปแบบดังนี้

$(1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0$

โดย p ค่าคงที่จำนวนจริง สมการนี้ตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ฟับนูตี เชบีเชฟ (Pafnuty Chebyshev)

ผลตอบสามารถหาได้จาก อนุกรมค่าที่ยกกำลัง (Power series):

$y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ต้องสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ดังต่อไปนี้

$a_{n+2}={(n-p)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.$

จากการทดสอบด้วยอัตราส่วน (ratio test) ความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น โดยที่ค่า $x$ อนุกรมดังกล่าวจะลู่เข้าในช่วง $[-1,1]$

ความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้นนี้เราสามารถกำหนดค่าเริ่มต้นสำหรับ $a_{0}$ และ $a_{1}$ ได้ ซึ่งทำให้ได้ผลตอบในปริภูมิสองมิติ โดยทางเลือกที่เป็นมาตรฐานมักได้แก่

กรณี a₀ = 1 ; a₁ = 0 จะได้

$F(x)=1-{\frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{\frac {(p-2)p^{2}(p+2)}{4!}}x^{4}-{\frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!}}x^{6}+\cdots$

และ

กรณี a₀ = 0 ; a₁ = 1 จะได้

$G(x)=x-{\frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{\frac {(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-\cdots .$

ซึ่งผลตอบในรูปแบบทั่วไปเกิดมาจากผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของสองผลตอบข้างต้นนี้

เมื่อ p เป็นจำนวนเต็ม ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งข้างต้นนี้จะหายไป โดยที่ ฟังก์ชัน F ลู่เข้าสู่ 0 แมื่อ p เป็นจำนวนคู่ และ ฟังก์ชัน G ลู่เข้าสู่ 0 แมื่อ p เป็นจำนวนคี่ ในกรณีเช่นนี้ฟังก์ชันจะมีลำดับ p^th ซึ่งทำให้มีค่าลู่เข้าเพราะลำดับมีขนาดจำกัดเท่ากับ p^th และเป็นเพียงพหุคูณของ พหุนามเชบีเชฟ (Chebyshev polynomial) ลำดับ p^th

$T_{p}(x)=(-1)^{p/2}\ F(x)\,$ if p is even

$T_{p}(x)=(-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\,$ if p is odd