ผิวกำลังสอง หรือ ควอดริก (อังกฤษ: quadric surface) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ผิว (hypersurface) ใน D มิติ ซึ่งกำหนดโดยคำตอบหรือทางเดินรากของสมการพหุนามกำลังสอง (quadratic polynomial) ถ้าเราพิจารณาพิกัด
ผิวกำลังสองถูกกำหนดด้วยสมการพีชคณิตดังต่อไปนี้
![{\displaystyle \sum _{i,j=0}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=0}^{D}P_{i}x_{i}+R=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff51610b03cf7ee3148d08efeaa5a5c6b1920934)
โดย Q คือ เมทริกซ์ มิติ D+1 และ P คือ เวกเตอร์ มิติ D+1 และ R คือ ค่าคงที่ ค่าของ Q, P และ R มักกำหนดเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน แต่อาจเป็นค่าฟีลด์ใด ๆ โดยทั่วไปแล้วคำตอบหรือทางเดินรากของกลุ่มของพหุนามนั้นเรียกว่าประเภทเชิงพีชคณิต (algebraic variety) ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (algebraic geometry) ควอดริกนั้นเป็นประเภทหนึ่งของประเภทเชิงพีชคณิต และประเภทของภาพฉายนั้นจะสมสัณฐานกับการตัดกันของควอดริก
สมการบรรทัดฐานของผิวกำลังสองใน 3 มิติ และมีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ
![{\displaystyle \pm {x^{2} \over a^{2}}\pm {y^{2} \over b^{2}}\pm {z^{2} \over c^{2}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59ed0c6033d501f047106943440e380a9d2cf23)
โดยการย้ายตำแหน่งและหมุนรูปผิวกำลังสองทุกรูป สามารถแปลงให้อยู่ในรูปบรรทัดฐานได้ ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ผิวกำลังสองนี้จะมีรูปบรรทัดฐาน 16 รูป โดยมีรูปแบบที่น่าสนใจดังต่อไปนี้:
ทรงรี
|
|
ทรงคล้ายทรงกลม (กรณีพิเศษของ ทรงรี)
|
|
ทรงกลม (กรณีพิเศษของทรงคล้างทรงกลม)
|
|
ทรงพาราโบลาเชิงวงรี
|
|
ทรงพาราโบลาเชิงวงกลม
|
|
ทรงพาราโบลาเชิงไฮเพอร์โบลา
|
|
ทรงไฮเพอร์โบลาชิ้นเดี่ยว
|
|
ทรงไฮเพอร์โบลาสองชิ้น
|
|
ทรงกรวย
|
|
ทรงกระบอกเชิงวงรี
|
|
ทรงกระบอกเชิงวงกลม
|
|
ทรงกระบอกเชิงไฮเพอร์โบลา
|
|
ทรงกระบอกเชิงไฮพาราโบลา
|
|
ภาคขยายของผิวกำลังสอง[แก้]
นอกเหนือจากรูปแบบผิวกำลังสองมาตรฐานที่ได้กล่าวถึงไปแล้ว ยังมีการดัดแปลงรูปแบบของสมการพื้นผิวดังกล่าวเพื่อใช้ในการแทนรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนขึ้น เช่น ซุปเปอร์ควอดริก และไฮเปอร์ควอดริก
ซุปเปอร์ควอดริก[แก้]
สมการบรรทัดฐานของซุปเปอร์ควอดริกที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0,0) คือ
![{\displaystyle \left({x^{2} \over a^{2}}\right)^{1 \over \epsilon _{1}}+\left({y^{2} \over b^{2}}\right)^{1 \over \epsilon _{2}}+\left({z^{2} \over c^{2}}\right)^{1 \over \epsilon _{3}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcf0ba384b87b7089b58200137fb9c6b25567e8)
หรือ ในรูป
|
|
|
|
|
|
โดย
และ
สิ่งที่ซุปเปอร์ควอดริกแตกต่างไปจากผิวกำลังสองคือ เลขยกกำลัง
โดยที่ค่า
และ
นั้นมีผลต่อรูปร่างในแนวนอน ส่วน
นั้นผลต่อรูปร่างในแนวตั้ง ดังแสดงในรูปด้านล่าง
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![{\displaystyle \,\epsilon _{3}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392d34f632ad56e2fb0a2616b5195834dbb97f75)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ไฮเปอร์ควอดริก[แก้]
ไฮเปอร์ควอดริกเป็นส่วนที่ขยายต่อจากซุปเปอร์ควอดริกให้มีความสามารถในการจำลองผิวที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น โดยซุปเปอร์ควอดริกนั้นเป็นเพียงกรณีพิเศษของไฮเปอร์ควอดริก ไฮเปอร์ควอดริกนั้นสามารถเขียนในรูปสมการทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{|l_{i}(x,y,z)|^{1 \over \epsilon _{i}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89954f92260479cc332dafe0735cca1740d5fb34)
โดย
![{\displaystyle \,l_{i}(x,y,z)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}z+d_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4d11dcdf05a9619d9252a7375ff1cb8b0e6a8e)
และ
|
|
|
|
|
|
นอกเหนือจากรูปแบบของไฮเปอร์ควอดริกข้างต้น แล้วก็ยังมีการพัฒนาเพิ่มเติมความซับซ้อนของรูปร่างไฮเปอร์ควอดริก เรียกว่า "คอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก" หรือ "ไฮบริดไฮเปอร์ควอดริก" โดยส่วนที่เพิ่มอาจอยู่ในรูปพหุนามของเลขชี้กำลัง
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{N_{p}}{|l_{i}^{(pol)}(x,y,z)|^{1 \over \epsilon _{i}}}+\sum _{m=1}^{M}{w_{m}\cdot e^{-\sum _{j=1}^{N_{e}}{|l_{mj}^{(exp)}(x,y,z)|^{1 \over \epsilon _{mj}}}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4dbd5fbcbeecb0def70cab35fa9c9031524eef)
พจน์ที่เพิ่มเข้ามา มีผลในการปรับแต่งรูปทรงของผิวเฉพาะที่ เช่นใช้ในการเพิ่มหลุมหรือรอยบุ๋ม ดังแสดงในภาพด้านล่าง
|
|
|
|
|
ไฮเปอร์ควอดริก
|
|
ภาพคอมโพสิทไฮเปอร์ควอดริก โดยการเพิ่มพจน์ของเลขยกกำลัง 1 พจน์
|