ปริพันธ์รีมัน

ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าการวิเคราะห์เชิงจริง ปริพันธ์รีมัน ซึ่งแบร์นฮาร์ท รีมัน คิดขึ้น เป็นนิยามที่รัดกุมนิยามแรกของปริพันธ์ของฟังก์ชันในช่วงหนึ่ง ๆ นิยามนี้ได้รับการเสนอต่อคณาจารย์ที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงินในปี พ.ศ. 2397 แต่ไม่ได้รับการตีพิมพ์ในวารสารจนกระทั่งปี พ.ศ. 2411 สำหรับฟังก์ชันและการใช้งานจริง ปริพันธ์รีมันสามารถประเมินได้จากทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสหรือประมาณโดยการรวมเชิงตัวเลข

ปริพันธ์เป็นพื้นที่ของพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

การประมาณค่าด้วยปริพันธ์

การประมาณค่าของผลรวม สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมกับปริพันธ์ต่อไปนี้ สำหรับฟังก์ชันเพิ่ม f

$\int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds$

และฟังก์ชันลด f

$\int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds$

ส่วนการประมาณค่าแบบทั่วไป ดูได้ที่สูตรอ็อยเลอร์–มาคลอริน (Euler–Maclaurin formula)

สำหรับฟังก์ชัน f ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ค่าของปริพันธ์สามารถประมาณค่าได้ด้วยผลบวกรีมัน (Riemann sum) ตัวอย่างเช่น สูตรต่อไปนี้คือผลบวกรีมันข้างซ้ายที่แบ่งช่วงเป็น n ส่วนเท่ากัน

${\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx$

ซึ่งการประมาณค่านี้จะแม่นยำมากขึ้น เมื่อ n มีค่ามากขึ้น (ถูกแบ่งเป็นส่วนมากขึ้น) จนเข้าใกล้อนันต์

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)=\int _{a}^{b}f(x)\ dx$

นิยาม

ผลรวมรีมัน

ให้ f เป็นฟังก์ชันของจำนวนจริงที่กำหนดในช่วง $[a,b]$ โดยที่ $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b$

• $\sum _{i=0}^{n-1}f(x_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).$

ดังนั้น แต่ละพจน์จึงแทนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูง f(x_i) และความกว้าง x_{i + 1} − x_i. ผลรวมรีมันน์คือพื้นที่ ของสี่เหลี่ยมทั้งหมด