ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์

ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ (อังกฤษ: Lagrange's theorem) เป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ในสาขาทฤษฎีกรุปที่กล่าวว่า ถ้า $H$ เป็นกรุปย่อยของกรุปจำกัด $G$ แล้ว $|H|$ เป็นตัวประกอบตัวหนึ่งของ $|G|$ หรืออีกนัยหนึ่ง อันดับ (จำนวนสมาชิกในกรุป) ของกรุปย่อยใด ๆ จะไปหารอันดับของกรุปใหญ่ลงดัวเสมอ ทฤษฎีบทนี้ได้ชื่อตามโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

ถ้าให้ $[G:H]$ แทนดรรชนีของกรุปย่อย (index) ซึ่งตามนิยามเท่ากับจำนวนโคเซตของ $H$ ใน $G$ แล้วจะได้ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ในรูปแบบด้านล่าง

ทฤษฎีบทของลากร็องฌ์ — ถ้า $H$ เป็นกรุปย่อยของกรุป $G$ แล้ว $\left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|$

รูปแบบข้างต้นเป็นจริงแม้ $G$ เป็นกรุปอนันต์ หากตีความว่า $|G|$, $|H|$, และ $[G:H]$ เป็นจำนวนเชิงการนับทั้งหมด

อ้างอิง

• Bray, Henry G. (1968), "A note on CLT groups", Pacific J. Math., 27 (2): 229–231, doi:10.2140/pjm.1968.27.229
• Gallian, Joseph (2006), Contemporary Abstract Algebra (6th ed.), Boston: Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-51471-7
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7, MR 2286236
• Roth, Richard R. (2001), "A History of Lagrange's Theorem on Groups", Mathematics Magazine, 74 (2): 99–108, doi:10.2307/2690624, JSTOR 2690624