ตัวทด

ในเลขคณิตมูลฐาน ตัวทด หรือ เลขทด คือตัวเลขที่ถูกส่งมาจากตัวเลขหลักหนึ่ง ไปยังตัวเลขหลักอื่นที่มีนัยสำคัญมากกว่า ในระหว่างขั้นตอนวิธีของการคำนวณ การกระทำที่ให้เกิดตัวทดเรียกว่า การทด ตัวทดเป็นสิ่งที่ช่วยคำนวณคณิตศาสตร์มาแต่ดั้งเดิม เพื่อเน้นให้เห็นถึงวิธีการหาคำตอบที่ถูกต้อง เมื่อคำนวณจนชำนาญแล้วตัวทดก็มักจะถูกละเลยไปเพราะสามารถคิดได้ในใจ และตัวทดก็ไม่ได้ปรากฏเป็นส่วนหนึ่งของผลลัพธ์

การคำนวณด้วยมือ

ตัวอย่าง: ผลบวกของเลขทศนิยมสองจุด

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงการทด จากการบวก

  ¹
  27
+ 59
————
  86

เนื่องจาก 7 + 9 = 16 ไม่สามารถใส่ตัวเลขทั้งสองได้ในหลักหน่วย ดังนั้น 1 จึงเป็นตัวทดจากหลักหน่วยไปยังหลักสิบ

สิ่งที่ตรงข้ามกับตัวทดก็คือ ตัวยืม การยืมมักปรากฏในการลบ

  ⁻¹
  47
− 19
————
  28

เนื่องจาก 7 ลบ 9 ไม่ได้ (7 น้อยเกินไป) จึงเกิด การยืม 1 จากหลักสิบสู่หลักหน่วย ทำให้จำนวนสิบไปบวกเพิ่มให้กับหลักเลขทางขวาเป็น 17 ทำให้ 17 − 9 = 8 มีสองแนวทางที่อธิบายแนวคิดนี้

1. จำนวนสิบถูก ย้าย ออกจากหลักเลขทางซ้าย ทำให้เหลือเลขในหลักสิบเพียง 3 − 1 = 2 ด้วยแนวคิดนี้ "ตัวยืม" จึงอาจเป็นการตั้งชื่อผิดเพราะยืมแล้วไม่ได้จำนวนสิบกลับคืน
2. จำนวนสิบถูก สำเนา ออกจากหลักเลขทางซ้าย จากนั้นบวกเข้าสู่ตัวลบในหลักที่มันถูกยืมมา ทำให้เลขในหลักสิบเป็น 4 − (1 + 1) = 2

การศึกษาในโรงเรียน

การสอนคณิตศาสตร์แต่เดิมใช้ตัวทดกับการบวกและการคูณกับเลขหลายหลัก โดยเริ่มสอนตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาตอนต้น อย่างไรก็ตามตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 20 เป็นต้นมา สถาบันการศึกษาหลายแห่งก็คิดค้นหลักสูตรการคำนวณคณิตศาสตร์ด้วยวิธีใหม่ขึ้นมา เช่นหลักสูตร TERC ในสหรัฐอเมริกา ซึ่งไม่จำเป็นต้องใช้ตัวทดแบบดั้งเดิม รวมทั้งมีการใช้สี การจัดวาง และแผนภูมิช่วยในการคำนวณ

คณิตศาสตร์ขั้นสูง

ทฤษฎีบทของคุมเมอร์ (Kummer's theorem) กล่าวว่า ตัวทดเกิดจากการเพิ่มตัวเลขสองตัวในฐาน$p$ เท่ากับกำลังสูงสุดของ$p$ หารสัมประสิทธิ์ทวินาม

เมื่อมีการเพิ่มจำนวนสุ่ม สถิติของตัวทดจะมีความสัมพันธ์กับอย่างไม่คาดคิดกับตัวเลขออยเลอร์และสถิติการเรียงสับเปลี่ยนริฟเฟิล (riffle shuffle permutation)

ในพีชคณิตนามธรรม ระบบตัวทดของจำนวนทศนิยมสองจุดสามารถแสดงผ่านภาษาของกลุ่มฮอมอโลยีร่วม (group cohomology) มุมมองนี้สามารถนำมาใช้ผ่านการแปลงเป็นจำนวนจริง

คอมพิวเตอร์

เมื่อพูดถึงวงจรดิจิทัลเช่นวงจรบวก คำว่า ตัวทด จึงมีความหมายคล้ายกับเลขคณิต ในคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่ ตัวทดจากบิตที่มีนัยสำคัญมากที่สุดซึ่งได้มาจากการดำเนินการทางเลขคณิตบางอย่าง หรือบิตที่ถูกเลื่อน (shift) ออกไปจากหน่วยความจำหลังจากการดำเนินการเลื่อน จะถูกเก็บไว้ในบิตพิเศษเรียกว่า บิตทด (carry bit) ซึ่งสามารถใช้เป็นตัวรับการทดสำหรับการคำนวณเลขคณิตแบบแม่นยำ หรือใช้ทดสอบการทำงานของโปรแกรมคอมพิวเตอร์

ดูเพิ่ม

• ตัวบ่งชี้การยืม (carry flag)

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Carry" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Borrow" จากแมทเวิลด์.
• Carrying - nLab