ตรรกศาสตร์
 | บทความนี้ได้รับแจ้งให้ปรับปรุงหลายข้อ กรุณาช่วยปรับปรุงบทความ หรืออภิปรายปัญหาที่หน้าอภิปราย
|
| ส่วนหนึ่งของชุดบทความ |
| ปรัชญา |
|---|
 |
 สถานีย่อยปรัชญา |
ตรรกศาสตร์ (อังกฤษ: logic - มีรากศัพท์จากภาษากรีกคือ λόγος, logos) โดยทั่วไปประกอบด้วยการศึกษารูปแบบของข้อโต้แย้งอย่างเป็นระบบ ข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลคือข้อโต้แย้งที่มีความสัมพันธ์ของการสนับสนุนเชิงตรรกะที่เฉพาะเจาะจงระหว่างข้อสมมุติพื้นฐานของข้อโต้แย้งและข้อสรุป
ตรรกศาสตร์เป็นการศึกษาเชิงปรัชญาว่าด้วยการให้เหตุผล โดยมักจะเป็นส่วนสำคัญของวิชาปรัชญา,คณิตศาสตร์, คอมพิวเตอร์ และยังรวมถึงภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์เป็นการตรวจสอบข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผล (valid argument) หรือการให้เหตุผลแบบผิดๆ (fallacies) ตรรกศาสตร์ เป็นการศึกษาที่มีมานานโดยมนุษยชาติที่เจริญแล้ว เช่น กรีก จีน หรืออินเดีย และถูกยกขึ้นเป็นสาขาวิชาหนึ่งโดย อริสโตเติล
ที่มาของคำว่า ตรรกศาสตร์
[แก้]คำว่า "ตรรกศาสตร์" ในปัจจุบัน เป็นศัพท์บัญญัติที่ใช้แทนแนวคิดเรื่อง Logic ในภาษาอังกฤษ ซึ่งมีรากศัพท์มาจากคำว่า λόγος (logos) ในภาษากรีก ที่มีความหมายเดิมว่าคำ หรือสิ่งที่ถูกกล่าว หลาย ๆ ประเทศที่ใช้อักษรโรมันในการเขียนก็มีศัพท์ที่พูดถึงแนวคิดนี้ในลักษณะชื่อที่คล้ายๆกัน
ในภาษาไทย เดิมมีคำนี้ใช้อยู่แล้ว ซึ่งน่าจะได้มาจากภาษาบาลี สันสกฤต (อย่างเช่นใน กาลามสูตร 10 ข้อ ที่ มีกล่าวไว้ว่าข้อหนึ่งว่า "อย่าเชื่อ เพราะ ได้คิดคำนึงเอาด้วย ตักฺกะ") ซึ่งอาจจะมีความหมายไม่ตรงทีเดียวนักกับคำว่าตรรกศาสตร์ที่ใช้ในภาษาปัจจุบัน
คณิตศาสตร์
[แก้]ประพจน์
[แก้]คือ ประโยคที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง โดย
- ประโยคที่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ
- ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคคำถาม คำสัง ขอร้อง และประโยคอุทาน
- ประโยคที่มีค่าความจริงไม่แน่นอน หรือไม่อาจระบุได้ว่ามีค่าความจริงว่าเป็นจริงหรือเท็จได้ จะไม่เป็นประพจน์
ตัวเชื่อมของประพจน์
[แก้]ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราเรัยกประพจน์ใหม่ว่า ประพจน์เชิงประกอบ ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว คือ
- “และ” ใช้สัญลักษณ์ ∧
- “หรือ” ใช้สัญลักษณ์ ∨
- “ถ้า…แล้ว…” ใช้สัญลักษณ์ →
- “ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์ ↔
- “นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์ ~
ประพจน์ที่สมมูลกัน (Equivalent) คือ รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ≡
คุณสมบัติของการสมมูลของรูปแบบของประพจน์
[แก้]กำหนดให้ p, q และ r เป็นรูปแบบของประพจน์
- การสะท้อน: p ≡ p
- การสมมาตร: ถ้า p ≡ q แล้ว q ≡ p
- การถ่ายทอด: ถ้า p ≡ q แล้ว q ≡ r แล้ว p ≡ r
- p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p
- p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p
- (p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r)
- (p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r)
- p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
- p → q สมมูลกับ ~p ∨ q
- p → q สมมูลกับ ~q → ~p
- p ↔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p)
ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน
[แก้]คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ ~ แทนนิเสธ จากนิยาม รูปแบบประพจน์ A เป็นนิเสธของ รูปแบบประพจน์ B ก็ต่อเมื่อ
- ค่าความจริงของ A และ B ต่างกันทุกกรณี
- ค่าความจริงของ A และ ~B เหมือนกันทุกกรณี
- A ≡ ~B
- ดังนั้น A เป็นนิเสธของ B ก็ต่อเมื่อ A สมมูลกับ ~B
ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรรู้
- ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q
- ~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q
- ~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q
- ~(p ↔ q) สมมูลกับ (p ↔ ~q) ∨(q ↔ ~p)
- ~(p ↔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧~p)
สัจนิรันดร์
[แก้]คือ รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
ประโยคเปิด (Open Sentence) คือ ข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่าของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ
ตัวบ่งปริมาณ (∀,∃)
[แก้]คือ ตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ
- ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∀ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
- ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∃ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”
ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
- ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
- ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
- ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
- ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
- ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]
- ~∃x[P(x)] สมมูลกับ ∀x[~P(x)]
- ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ ∃x[P(x)]
- ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ ∀x[P(x)]
การอ้างเหตุผล
[แก้]คือ การอ้างว่า สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,…, Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้ โดยการอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ เหตุ (สิ่งที่กำหนดให้) และ ผล (สิ่งที่ตามมา)
สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ สามารถพิจารณาได้จากประพจน์
ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล
ดูเพิ่ม
[แก้]- ตรรกะวิบัติ ที่ไม่เป็นไปตามหลักตรรกะอย่างถูกต้อง