เลขฐานสิบ

เลขฐานสิบ หรือ ทศนิยม (Decimal) หมายถึง ระบบตัวเลขที่มีตัวเลข 10 ตัว คือ 0 – 9

สัญลักษณ์แทนเลขฐานสิบ

การเขียนจำนวนในรูปทศนิยมคือการเขียนจำนวนให้อยู่ในรูปเลขฐานสิบ ซึ่งมีสัญลักษณ์อยู่ 10 ตัว (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9) และอาจมีการใช้ร่วมกับจุดทศนิยม สำหรับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม และใช้สัญลักษณ์ + และ − เพื่อบอกค่าบวกและค่าลบ

เลขฐานสิบนี้เป็นเลขฐานปกติที่คนทั่วไปใช้ เนื่องจากมนุษย์มีสิบนิ้ว แต่ถึงอย่างไรก็ตาม ในอดีตก็มีผู้ที่ใช้เลขฐานที่ไม่ใช่ฐานสิบ เช่น ชาวไนจีเรียใช้เลขฐานสิบสอง และชาวบาบิโลเนียนใช้เลขฐานหกสิบ และชาวเผ่ายูกิใช้เลขฐานแปด

สัญลักษณ์แทนเลขแต่ละหลักนั้น โดยทั่วไปจะใช้เลขอารบิก และเลขอินเดีย ซึ่งมาจากระบบเดียวกัน แต่มีรูปแบบการใช้ที่แตกต่างกัน

การเขียนจำนวนจริงในรูปทศนิยม

เศษส่วนและทศนิยม

เลขทศนิยม

การเขียนเศษส่วนให้เป็นทศนิยม ทำได้โดยให้ตัวส่วนเป็นกำลังของสิบ

การเขียนทศนิยมนั้นไม่จำเป็นต้องเขียนตัวส่วนเหมือนเศษส่วน แต่ใช้เครื่องหมายจุดทศนิยม (อาจต้องเพิ่ม 0 ด้านหน้า ถ้าจำเป็น) และตำแหน่งของตัวเลขจะเกี่ยวข้องกับส่วน ที่เป็นกำลังของสิบ เช่น ${\frac {8}{10}},{\frac {833}{100}},{\frac {83}{1000}},{\frac {8}{10000}}$ และ ${\frac {80}{10000}}$ สามารถเขียนได้เป็น $0.8,8.33,0.083,0.0008$ และ $0.008$ ตามลำดับ

จำนวนที่เขียนได้ในลักษณะนี้ เป็น เลขทศนิยม

ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและเศษส่วน จะถูกแยกกันด้วยเครื่องหมายจุดทศนิยม ซึ่งเราใช้เครื่องหมาย มหัพภาค (.) แทนจุดทศนิยม ถ้าจำนวนนั้นเป็นเศษส่วนที่น้อยกว่าหนึ่ง เราจำเป็นต้องใส่ 0 นำหน้า (กล่าวคือ เรานิยมเขียน 0.5 มากกว่า .5) เลขศูนย์ตามท้ายทศนิยมถือว่าไม่จำเป็นในทางคณิตศาสตร์ นั่นคือ 0.080 และ 0.08 มีความหมายเหมือนกันในทางคณิตศาสตร์ แต่ในทางวิศวกรรม 0.080 บอกว่า อาจมีความคลาดเคลื่อนได้ไม่เกินหนึ่งในพัน แต่ 0.08 อาจมีความคลาดเคลื่อนได้ไม่เกินหนึ่งในร้อย

การเขียนเลขอื่น ๆ ในรูปทศนิยม

จำนวนอื่น ๆ ที่ไม่อาจเขียนได้อยู่ในรูปทศนิยมที่มีจุดสิ้นสุด เราจะเขียนจำนวนเหล่านี้ได้ในรูปทศนิยมซ้ำ

เนื่องจาก 10 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะจำนวนแรกและจำนวนที่สาม (นั่นคือ 2 และ 5) ซึ่งมากกว่ากำลังสองของจำนวนเฉพาะจำนวนที่สองอยู่หนึ่ง (กำลังสองของ 3 คือ 9 และน้อยกว่าจำนวนเฉพาะจำนวนที่ห้าอยู่หนึ่ง (11) ทำให้มีรูปแบบของทศนิยมบางรูปแบบ ดังนี้

{\frac {1}{2}}=0.5

{\frac {1}{3}}=0.333333\cdots

(3 ซ้ำ)

{\frac {1}{4}}=0.25

{\frac {1}{5}}=0.2

{\frac {1}{6}}=0.166666\cdots

(6 ซ้ำ)

{\frac {1}{7}}=0.142857142857\cdots

(142857 ซ้ำ)

{\frac {1}{8}}=0.125

{\frac {1}{9}}=0.111111\cdots

(1 ซ้ำ)

{\frac {1}{10}}=0.1

{\frac {1}{11}}=0.090909\cdots

(09 ซ้ำ)

{\frac {1}{12}}=0.083333\cdots

(3 ซ้ำ)

{\frac {1}{81}}=0.012345679012\cdots

(012345679 ซ้ำ)

สำหรับจำนวนที่มีจำนวนเฉพาะอื่น ๆ เป็นตัวส่วนนั้นจะทำให้มีรูปแบบที่ซ้ำยาวขึ้น เช่น 7 และ 13

การหาชุดของทศนิยมซ้ำนั้นทำได้โดยการตั้งหารยาว เราจะมีเศษไม่ใช่ศูนย์เพียง q-1 แบบเท่านั้นจากการหารด้วย q ดังนั้น ช่วงของทศนิยมซ้ำจะยาวไม่เกิน q-1 อย่างแน่นอน ลองดูตัวอย่างของการหา $3/7$ ในรูปทศนิยม

          0.4 2 8 5 7 1 4 ...
 7 ) 3.0 0 0 0 0 0 0 0 
     2 8                          ${\frac {30}{7}}$  = 4 เศษ 2
       2 0
       1 4                        ${\frac {20}{7}}$  = 2 เศษ 6
         6 0
         5 6                      ${\frac {60}{7}}$  = 8 เศษ 4
           4 0
           3 5                    ${\frac {40}{7}}$  = 5 เศษ 5
             5 0
             4 9                  ${\frac {50}{7}}$  = 7 เศษ 1
               1 0
                 7                ${\frac {10}{7}}$  = 1 เศษ 3
                 3 0
                 2 8              ${\frac {30}{7}}$  = 4 เศษ 2  (ซ้ำ)
                   2 0
                        ฯลฯ