ค่าแชปลีย์

ลอยด์ แชปลีย์ ในปี ค.ศ. 2012

ค่าแชปลีย์ เป็นแนวคิดในการแก้ปัญหาในทฤษฎีเกมแบบร่วมมือ โดยได้รับการตั้งชื่อตาม ลอยด์ แชปลีย์ เพื่อเป็นเกียรติให้แก่เขาซึ่งได้แนะนำแนวคิดนี้ในปี 1951 และได้รับรางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ในปี ค.ศ. 2012 สำหรับผลงานนี้

สำหรับเกมแบบร่วมมือแต่ละเกมจะแจกแจงการแบ่งส่วนแบ่งที่เกิดขึ้นจากการร่วมมือระหว่างผู้เล่นให้เป็นการเฉพาะ โดยที่ ค่าแชปลีย์ มีคุณสมบัติที่น่าพึงพอใจหลายประการ Sergiu Hart (1989) ได้จัดทำแบบสำรวจเกี่ยวกับเรื่องนี้

นิยามอย่างเป็นทางการ

เกมเชิงสหกรณ์ (coalitional game) ถูกนิยามอย่างเป็นทางการดังนี้: มีเซต N (ของผู้เล่น n คน) และฟังก์ชัน $v$ ที่ส่งเซตย่อยของผู้เล่นไปยังจำนวนจริง: $v\colon 2^{N}\to \mathbb {R}$ โดยที่ $v(\emptyset )=0$ ซึ่ง $\emptyset$ หมายถึงเซตว่าง ฟังก์ชัน $v$ นี้เรียกว่า ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (characteristic function)

ฟังก์ชัน $v$ มีความหมายดังนี้: ถ้า S เป็นกลุ่มพันธมิตรของผู้เล่น ฟังก์ชัน $v$ (S) ซึ่งเรียกว่าค่าของกลุ่มพันธมิตร S จะอธิบายผลรวมของผลตอบแทนที่สมาชิกของ $S$ สามารถได้รับจากการร่วมมือกัน

ค่าแชปลีย์ เป็นวิธีหนึ่งในการแจกจ่ายผลกำไรรวมให้แก่ผู้เล่น โดยสมมุติว่าทุกคนร่วมมือกันเป็นการแจกจ่ายที่ "ยุติธรรม" ในแง่ที่ว่าเป็นการแจกจ่ายเดียวที่มีคุณสมบัติบางประการที่ต้องการตามที่ระบุไว้ข้างล่าง ตามค่าแชปลีย์ จำนวนที่ผู้เล่น i ได้รับในเกมเชิงสหกรณ์ $(v,N)$ คือ:

$\varphi _{i}(v)=\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}{\frac {|S|!\;(n-|S|-1)!}{n!}}(v(S\cup \{i\})-v(S))$

$\quad \quad \quad ={\frac {1}{n}}\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}{n-1 \choose |S|}^{-1}(v(S\cup \{i\})-v(S))$

โดยที่ n คือจำนวนผู้เล่นทั้งหมดและผลรวมจะครอบคลุมทุกเซตย่อย S ของ N ที่ไม่รวมผู้เล่น i (รวมถึงเซตว่างด้วย) โปรดทราบว่า ${n \choose k}$ คือตัวประกอบทวินาม (binomial coefficient) สูตรนี้สามารถตีความได้ดังนี้: ลองนึกภาพกลุ่มพันธมิตรกำลังก่อตัวขึ้นทีละผู้เล่น โดยที่แต่ละผู้เล่นเรียกร้องส่วนแบ่งที่ยุติธรรมตามที่พวกเขามีส่วนร่วม $v(S\cup \{i\})-v(S)$ และจากนั้นจะใช้ค่าเฉลี่ยของการมีส่วนร่วมนี้สำหรับแต่ละผู้เล่นในลำดับการรวมกลุ่มพันธมิตร

สูตรทางเลือกสำหรับค่าแชปลีย์ คือ:

$\varphi _{i}(v)={\frac {1}{n!}}\sum _{R}\left[v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})\right]$

โดยที่ผลรวมนี้ครอบคลุมทุกลำดับ $n!$ ของผู้เล่นและ $P_{i}^{R}$ คือเซตของผู้เล่นใน $N$ ที่มาก่อนผู้เล่น $i$ ในลำดับ $R$ นอกจากนี้ยังสามารถเขียนได้เป็น

$\varphi _{i}(v)={\frac {1}{n}}\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}{\binom {n-1}{|S|}}^{-1}(v(S\cup \{i\})-v(S))$

ซึ่งสามารถตีความได้ว่า

$\varphi _{i}(v)={\frac {1}{\text{จำนวนผู้เล่น}}}\sum _{{\text{กลุ่มพันธมิตรที่ไม่รวม}}i}{\frac {{\text{ส่วนร่วมของ }}i{\text{ ต่อกลุ่มพันธมิตร}}}{{\text{จำนวนกลุ่มพันธมิตรขนาดนี้ที่ไม่รวม}}i}}$

ในแง่ของการทำงานร่วมกัน

จาก ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ $v$ สามารถคำนวณ การทำงานร่วมกัน ที่ผู้เล่นแต่ละกลุ่มมีให้ได้ Synergy คือฟังก์ชันที่ไม่ซ้ำ $w\colon 2^{N}\to \mathbb {R}$ ที่ทำให้

$v(S)=\sum _{R\subseteq S}w(R)$

สำหรับทุกเซตย่อย $S\subseteq N$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ 'ค่ารวม' ของกลุ่มพันธมิตร $S$ มาจากการรวม synergies ของเซตย่อยทุกเซตของ $S$

ฟังก์ชันการทำงานร่วมกัน (synergy) $w$ ถูกคำนวณโดยใช้

$w(S)=\sum _{R\subseteq S}(-1)^{|S|-|R|}v(R)$

ตามหลักการของการรวม-แยก (Inclusion-exclusion principle) กล่าวอีกนัยหนึ่ง การทำงานร่วมกัน ของกลุ่มพันธมิตร $S$ คือค่า $v(S)$ ที่ไม่ถูกนับจากเซตย่อย

ค่าแชปลีย์ สามารถนิยามในแง่ของฟังก์ชัน การทำงานร่วมกัน ได้โดย

$\varphi _{i}(v)=\sum _{i\in S\subseteq N}{\frac {w(S)}{|S|}}$

ซึ่งผลรวมนี้จะครอบคลุมเซตย่อย $S$ ทั้งหมดของ $N$ ที่รวมผู้เล่น $i$

สิ่งนี้สามารถตีความได้ว่า

$\varphi _{i}(v)=\sum _{{\text{กลุ่มพันธมิตรที่รวม }}i}{\frac {\text{การทำงานร่วมกัน ของกลุ่มพันธมิตร}}{\text{สมาชิกในกลุ่มพันธมิตร}}}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การทำงานร่วมกัน ของแต่ละกลุ่มพันธมิตรจะแบ่งเท่า ๆ กันระหว่างสมาชิกทั้งหมด

ตัวอย่าง

ตัวอย่างทางธุรกิจ

พิจารณาคำอธิบายที่เรียบง่ายของธุรกิจ เจ้าของ o ให้ทุนที่สำคัญในแง่ที่ว่า ถ้าไม่มีเขาหรือเธอ ไม่มีผลกำไรสามารถเกิดขึ้นได้ มีคนงาน m คน w₁, ..., w_m แต่ละคนมีส่วนร่วมจำนวน p ต่อกำไรรวม

$N=\{o,w_{1},\ldots ,w_{m}\}.$

ฟังก์ชันค่า (value function) สำหรับเกมเชิงสหกรณ์นี้คือ

$v(S)={\begin{cases}(|S|-1)p&{\text{ถ้า }}o\in S\;,\\0&{\text{ในกรณีอื่น}}\;.\\\end{cases}}$

การคำนวณค่าแชปลีย์ สำหรับเกมกลุ่มนี้ทำให้ได้ค่า mp/2 สำหรับเจ้าของและ p/2 สำหรับแต่ละคนใน m คนงาน

ซึ่งสามารถเข้าใจได้จากมุมมองของ การทำงานร่วมกัน ฟังก์ชัน การทำงานร่วมกัน $w$ คือ

$w(S)={\begin{cases}p,&{\text{ถ้า }}S=\{o,w_{i}\}\\0,&{\text{ในกรณีอื่น}}\\\end{cases}}$

ดังนั้นกลุ่มพันธมิตรที่สร้าง การทำงานร่วมกัน ได้มีเพียงการจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเจ้าของและคนงานแต่ละคน

การใช้สูตรค่าแชปลีย์ ข้างต้นตาม $w$ เราคำนวณได้ว่า

$\varphi _{w_{i}}={\frac {w(\{o,w_{i}\})}{2}}={\frac {p}{2}}$

และ

$\varphi _{o}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {w(\{o,w_{i}\})}{2}}={\frac {mp}{2}}$

ผลลัพธ์นี้ยังสามารถเข้าใจได้จากมุมมองของการเฉลี่ยในลำดับทั้งหมด คนงานแต่ละคนเข้าร่วมกลุ่มหลังจากเจ้าของ (และดังนั้นจึงมีส่วนร่วม p) ในครึ่งหนึ่งของลำดับ ดังนั้นค่าเฉลี่ยการมีส่วนร่วมของเขาคือ ${\frac {p}{2}}$ เมื่อลงมาในกลุ่ม เจ้าของจะเข้ามาโดยเฉลี่ยคนงานครึ่งหนึ่งได้เข้าร่วมแล้ว ดังนั้นค่าเฉลี่ยการมีส่วนร่วมของเจ้าของเมื่อลงมาในกลุ่มคือ ${\frac {mp}{2}}$

เกมถุงมือ

เกมถุงมือ (Glove game) เป็นเกมเชิงสหกรณ์ที่ผู้เล่นมีถุงมือซ้ายและขวา และเป้าหมายคือการจับคู่ ถุงมือขวาและซ้ายมาอยู่ด้วยกัน

ให้

$N=\{1,2,3\},$

โดยที่ผู้เล่น 1 และ 2 มีถุงมือขวาและผู้เล่น 3 มีถุงมือซ้าย

ฟังก์ชันค่า (value function) สำหรับเกมเชิงสหกรณ์นี้คือ

$v(S)={\begin{cases}1&{\text{ถ้า }}S\in \left\{\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\right\};\\0&{\text{ในกรณีอื่น}}\\\end{cases}}$

สูตรในการคำนวณค่า Shapley คือ

$\varphi _{i}(v)={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}\left[v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})\right],$

โดยที่ R เป็นการจัดลำดับของผู้เล่นและ $P_{i}^{R}$ คือเซตของผู้เล่นใน N ที่มาก่อน i ในลำดับ R

ตารางด้านล่างแสดงการมีส่วนร่วมของ Player 1

${\begin{array}{|c|r|}{\text{ลำดับ }}R\,\!&MC_{1}\\\hline {1,2,3}&v(\{1\})-v(\varnothing )=0-0=0\\{1,3,2}&v(\{1\})-v(\varnothing )=0-0=0\\{2,1,3}&v(\{1,2\})-v(\{2\})=0-0=0\\{2,3,1}&v(\{1,2,3\})-v(\{2,3\})=1-1=0\\{3,1,2}&v(\{1,3\})-v(\{3\})=1-0=1\\{3,2,1}&v(\{1,3,2\})-v(\{3,2\})=1-1=0\end{array}}$

สังเกตว่า

$\varphi _{1}(v)=\!\left({\frac {1}{6}}\right)(1)={\frac {1}{6}}.$

โดยการใช้ข้อโต้แย้งด้านความสมมาตร (symmetry argument) สามารถแสดงได้ว่า

$\varphi _{2}(v)=\varphi _{1}(v)={\frac {1}{6}}.$

ตามหลักการของประสิทธิภาพ (efficiency axiom) ผลรวมของค่าแชปลีย์ ทั้งหมดจะเท่ากับ 1 ซึ่งหมายความว่า

$\varphi _{3}(v)={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}.$

คุณสมบัติ

ค่าแชปลีย์ มีคุณสมบัติที่น่าพอใจหลายประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นกฎการจ่ายเงินเพียงอย่างเดียวที่เป็นไปตามคุณสมบัติทั้งสี่ของ ประสิทธิภาพ (Efficiency), ความสมมาตร (Symmetry), ความเป็นเส้นตรง (Linearity) และ ผู้เล่นที่ไม่มีผล (Null player) ดู สำหรับการจำแนกค่าแชปลีย์ เพิ่มเติม

ประสิทธิภาพ (Efficiency)

ผลรวมของค่าแชปลีย์ ของตัวแทนทั้งหมดเท่ากับค่าของกลุ่มใหญ่ (grand coalition) ดังนั้นผลกำไรทั้งหมดจะถูกแจกจ่ายให้กับตัวแทน:

$\sum _{i\in N}\varphi _{i}(v)=v(N)$

การพิสูจน์: $\sum _{i\in N}\varphi _{i}(v)={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}\sum _{i\in N}v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})=={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}v(N)=={\frac {1}{|N|!}}|N|!\cdot v(N)=v(N)$

เนื่องจาก $\sum _{i\in N}v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-v(P_{i}^{R})$ เป็นการรวมแบบกล้องโทรทรรศน์ (telescoping sum) และมีการจัดลำดับ |N|! ลำดับต่าง ๆ

ความสมมาตร (Symmetry)

หาก $i$ และ $j$ เป็นตัวแทนสองคนที่เทียบเท่ากันในแง่ที่ว่า

$v(S\cup \{i\})=v(S\cup \{j\})$

สำหรับทุกชุด $S$ ของ $N$ ที่ไม่รวม $i$ หรือ $j$ ก็จะมี $\varphi _{i}(v)=\varphi _{j}(v)$

คุณสมบัตินี้ยังเรียกว่า การปฏิบัติต่อเท่าเทียมกัน (equal treatment of equals)

ความเป็นเส้นตรง (Linearity)

หากเกมกลุ่มสองเกมที่อธิบายด้วยฟังก์ชันผลกำไร $v$ และ $w$ ถูกผสมกัน ผลกำไรที่แจกจ่ายควรตรงกับผลกำไรที่ได้จาก $v$ และผลกำไรที่ได้จาก $w$:

$\varphi _{i}(v+w)=\varphi _{i}(v)+\varphi _{i}(w)$

สำหรับทุก $i$ ใน $N$ นอกจากนี้ สำหรับจำนวนจริง $a$,

$\varphi _{i}(av)=a\varphi _{i}(v)$

สำหรับทุก $i$ ใน $N$

ผู้เล่นที่ไม่มีผล (Null player)

ค่าแชปลีย์ $\varphi _{i}(v)$ ของผู้เล่นที่ไม่มีผล $i$ ในเกม $v$ เท่ากับศูนย์ ผู้เล่น $i$ ถือเป็น ผู้เล่นที่ไม่มีผล ใน $v$ หาก $v(S\cup \{i\})=v(S)$ สำหรับกลุ่มพันธมิตร $S$ ทั้งหมดที่ไม่รวม $i$

การทดสอบแบบอิสระ (Stand-alone test)

หาก $v$ เป็น ฟังก์ชันเซ็ตที่ไม่เพิ่มค่า (subadditive set function), i.e., $v(S\sqcup T)\leq v(S)+v(T)$, แล้วสำหรับแต่ละตัวแทน $i$: $\varphi _{i}(v)\leq v(\{i\})$

ในทำนองเดียวกัน, หาก $v$ เป็น ฟังก์ชันเซ็ตที่เพิ่มค่า (superadditive set function), i.e., $v(S\sqcup T)\geq v(S)+v(T)$, แล้วสำหรับแต่ละตัวแทน $i$: $\varphi _{i}(v)\geq v(\{i\})$

ดังนั้น, หากความร่วมมือมีผลลัพธ์ภายนอกที่เป็นบวก ตัวแทนทั้งหมดจะได้รับ (อย่างน้อย) การเพิ่มขึ้น และหากมีผลลัพธ์ภายนอกที่เป็นลบ ตัวแทนทั้งหมดจะได้รับ (อย่างน้อย) การลดลง.

ความเป็นกลาง (Anonymity)

หาก $i$ และ $j$ เป็นสองตัวแทน และ $w$ เป็นฟังก์ชันผลกำไรที่เหมือนกับ $v$ ยกเว้นว่าบทบาทของ $i$ และ $j$ ถูกสลับกัน, ดังนั้น $\varphi _{i}(v)=\varphi _{j}(w)$ ซึ่งหมายความว่าการติดป้ายของตัวแทนไม่ได้มีบทบาทในการกำหนดผลกำไรของพวกเขา

ความมาร์จินัล (Marginalism)

ค่าแชปลีย์ สามารถกำหนดเป็นฟังก์ชันที่ใช้เฉพาะการมีส่วนร่วมของมาร์จินัลของผู้เล่น $i$ เป็นอาร์กิวเมนต์

ค่าออน์–แชปลีย์ (Aumann–Shapley)

ในหนังสือปี 1974 ของ ลอยด์ แชปลีย์ และ โรเบิร์ต ออมันน์ ได้ขยายแนวคิดของค่า Shapley ไปยังเกมที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ซึ่งกำหนดตาม วัด (measure) ที่ ไม่ใช่อะตอม) โดยสร้างสูตรแนวทแยง (diagonal formula) ซึ่งต่อมาขยายโดย ฌอง-ฟรองซัวส์ เมอร์เทนส์ และ อับราฮัม เนย์มาน

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ค่าในเกม n-person จะเชื่อมโยงกับแต่ละผู้เล่นคาดหวังการมีส่วนร่วมของเขาต่อคุณค่าหรือกลุ่มของผู้เล่นก่อนเขาในลำดับการสุ่มของผู้เล่นทั้งหมด เมื่อมีผู้เล่นจำนวนมากและแต่ละบุคคลมีบทบาทเพียงเล็กน้อย ชุดของผู้เล่นทั้งหมดที่มาก่อนผู้เล่นที่กำหนดถือเป็นตัวอย่างที่ดีของผู้เล่น ดังนั้นค่าแชปลีย์ ของผู้เล่นที่ไม่มีที่สิ้นสุด ds รอบ ๆ เป็นการ "มีส่วนร่วม" ของเขาต่อคุณค่าของ "ตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบ" ของประชากรผู้เล่นทั้งหมด

สัญลักษณ์: ถ้า v เป็นฟังก์ชันการมีคุณค่าของกลุ่มที่เชื่อมโยงกับแต่ละกลุ่ม c ซึ่งเป็นชุดที่วัดได้จากชุดที่วัดได้ I ที่สามารถคิดเป็น $I=[0,1]$ โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป

$(Sv)(ds)=\int _{0}^{1}(\,v(tI+ds)-v(tI)\,)\,dt.$

โดยที่ $(Sv)(ds)$ หมายถึงค่าแชปลีย์ ของผู้เล่นที่ไม่มีที่สิ้นสุด ds ในเกม, tI เป็นตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบของชุดทั้งหมด I ที่ประกอบด้วยสัดส่วน t ของผู้เล่นทั้งหมด และ $tI+ds$ คือกลุ่มที่ได้หลังจาก ds เข้าร่วม tI นี่คือรูปแบบเชิงพาณิชย์ของ สูตรแนวทแยง

โดยสมมติว่าฟังก์ชันการมีคุณค่าเป็นไปตามระเบียบบางประการ เช่น สมมติว่า v สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันที่มีการแยกต่างหากของ measure ที่ไม่เป็นอะตอมบน I, μ, $v(c)=f(\mu (c))$ โดยที่ฟังก์ชันความหนาแน่น $\varphi$, โดยที่ $\mu (c)=\int 1_{c}(u)\varphi (u)\,du,$ ($1_{c}()$ คือฟังก์ชันลักษณะของ c). ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้

$\mu (tI)=t\mu (I)$,

ตามที่สามารถแสดงได้โดยการประมาณความหนาแน่นโดยฟังก์ชันขั้นตอนและรักษาสัดส่วน t สำหรับแต่ละระดับของฟังก์ชันความหนาแน่น และ

$v(tI+ds)=f(t\mu (I))+f'(t\mu (I))\mu (ds).$

สูตรแนวทแยงมีรูปแบบที่พัฒนาโดย ออมันน์ และ แชปลีย์ (1974)

$(Sv)(ds)=\int _{0}^{1}f'_{t\mu (I)}(\mu (ds))\,dt$

ที่กล่าวถึง μ สามารถเป็นค่าดัชนี (vector valued) (ตราบใดที่ฟังก์ชันถูกกำหนดและสามารถแยกได้ในช่วงของ μ, สูตรข้างต้นมีความหมาย)

ในอาร์กิวเมนต์ข้างต้น หาก วัด มีอะตอม $\mu (tI)=t\mu (I)$ จะไม่เป็นจริงอีกต่อไป—นี่คือเหตุผลที่สูตรแนวทแยงมักใช้กับเกมที่ไม่มีอะตอม

มีสองวิธีที่ใช้ขยายสูตรแนวทแยงนี้เมื่อฟังก์ชัน f ไม่สามารถแยกได้ เมอร์เทนส์ (Mertens) กลับไปที่สูตรดั้งเดิมและทำการแยกหลังจากการรวม ซึ่งจะได้รับผลจากการปรับเรียบอย่างมีประสิทธิภาพ เนย์แมน (Neyman) ใช้แนวทางที่แตกต่างออกไป กลับไปที่การใช้ แนวทางของเมอร์เทนส์ (Mertens's approach) จาก เมอร์เทนส์ (1980) :

$(Sv)(ds)=\lim _{\varepsilon \to 0,\varepsilon >0}{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{0}^{1-\varepsilon }(f(t+\varepsilon \mu (ds))-f(t))\,dt$

สิ่งนี้ใช้ได้กับเกมส่วนใหญ่—ในขณะที่สูตรแนวทแยงดั้งเดิมไม่สามารถใช้ได้โดยตรง เมอร์เทนส์ ขยายเพิ่มเติมโดยการระบุความสมมาตรที่ค่าแชปลีย์ ควรเป็นอิสระ และเฉลี่ยตามความสมมาตรเหล่านี้เพื่อสร้างผลการปรับเรียบเพิ่มเติมที่สลับการเฉลี่ยกับการดำเนินการแยกอย่างที่กล่าวไว้ข้างต้น. การสำรวจค่า ไม่ใช่อะตอม (non-atomic) พบใน เนย์แมน Neyman (2002)

การขยายไปยังกลุ่ม

ค่าแชปลีย์ ถูกกำหนดให้กับตัวแทนแต่ละคนเท่านั้น แต่ได้มีการขยาย เพื่อให้สามารถใช้กับกลุ่มของตัวแทน C ได้ดังนี้

$\varphi _{C}(v)=\sum _{T\subseteq N\setminus C}{\frac {(n-|T|-|C|)!\;|T|!}{(n-|C|+1)!}}\sum _{S\subseteq C}(-1)^{|C|-|S|}v(S\cup T)\;.$

ในแง่ของฟังก์ชันการทำงานร่วมกัน $w$ ข้างต้น สามารถเขียนได้เป็น

$\varphi _{C}(v)=\sum _{C\subseteq T\subseteq N}{\frac {w(T)}{|T|-|C|+1}}$

โดยที่การรวมไปยังทุกชุด $T$ ของ $N$ ที่มี $C$

สูตรนี้แนะนำว่า ค่าแชปลีย์ ของกลุ่มสามารถคิดได้ว่าเป็นค่าแชปลีย์ มาตรฐานของผู้เล่นคนเดียว หากกลุ่ม $C$ ถูกปฏิบัติเหมือนเป็นผู้เล่นคนเดียว

มูลค่าของผู้เล่นต่อผู้เล่นอื่น

ค่าแชปลีย์$\varphi _{i}(v)$ ถูกแยกออกเป็น ในรูปของเมทริกซ์ค่า

$\varphi _{ij}(v)=\sum _{S\subseteq N}{\frac {(|S|-1)!\;(n-|S|)!}{n!}}(v(S)-v(S\setminus \{i\})-v(S\setminus \{j\})+v(S\setminus \{i,j\}))\sum _{t=|S|}^{n}{\frac {1}{t}}$

แต่ละค่า $\varphi _{ij}(v)$ แสดงถึงมูลค่าของผู้เล่น $i$ ต่อผู้เล่น $j$ เมทริกซ์นี้ทำให้เห็นว่า

$\varphi _{i}(v)=\sum _{j\in N}\varphi _{ij}(v)$

กล่าวคือ มูลค่าของผู้เล่น $i$ ต่อเกมทั้งหมดเป็นผลรวมของมูลค่าที่ผู้เล่น $i$ มีต่อผู้เล่นแต่ละคน

ในแง่ของความร่วมมือ $w$ ที่กำหนดไว้ข้างต้น สามารถเขียนได้ว่า

$\varphi _{ij}(v)=\sum _{\{i,j\}\subseteq S\subseteq N}{\frac {w(S)}{|S|^{2}}}$

โดยที่การรวมไปยังทุกชุด $S$ ของ $N$ ที่มี $i$ และ $j$

การตีความคือ การรวมค่าในแต่ละชุดที่มีผู้เล่น $i$ และ $j$ โดยสำหรับแต่ละชุด $S$ คุณ

• ใช้ความร่วมมือ $w(S)$ ของชุดนั้น
• แบ่งออกเป็นจำนวนผู้เล่นในชุด $|S|$ ซึ่งตีความว่าเป็นมูลค่าเพิ่มที่ผู้เล่น $i$ ได้รับจากการรวมกลุ่มนี้
• แบ่งเพิ่มเติมโดย $|S|$ เพื่อให้ได้ส่วนที่มูลค่าของผู้เล่น $i$ ที่ถูกให้แก่ผู้เล่น $j$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มูลค่าความร่วมมือของแต่ละกลุ่มจะถูกแบ่งออกอย่างเท่าเทียมกันระหว่างคู่ $|S|^{2}$ คู่ $(i,j)$ ของผู้เล่นในกลุ่มนั้น โดยที่ $i$ สร้างมูลค่าเพิ่มให้แก่ $j$

การถดถอยค่าแชปลีย์

การถดถอยค่าแชปลีย์ เป็นวิธีทางสถิติที่ใช้เพื่อวัดการมีส่วนร่วมของตัวแปรแต่ละตัวในแบบจำลองการถดถอย ในบริบทนี้ "ผู้เล่น" คือ ตัวแปรหรือพรีดิคเตอร์แต่ละตัวในแบบจำลอง และ "กำไร" คือ ความแปรปรวนที่อธิบายทั้งหมดหรือพลังการคาดการณ์ของแบบจำลอง วิธีนี้รับประกันการกระจายกำไรทั้งหมดอย่างเป็นธรรมระหว่างตัวพรีดิคเตอร์ โดยการมอบค่าที่แทนการมีส่วนร่วมของแต่ละตัวพรีดิคเตอร์ในประสิทธิภาพของแบบจำลอง ลิโปเวตสกี้ (Lipovetsky) (2006) ได้อภิปรายการใช้ค่าแชปลีย์ ในการวิเคราะห์การถดถอย โดยให้ภาพรวมที่ครอบคลุมเกี่ยวกับพื้นฐานทฤษฎีและการใช้งานจริง.

การมีส่วนร่วมของค่าแชปลีย์ ได้รับการยอมรับในเรื่องความสมดุลของเสถียรภาพและพลังในการแยกแยะ ซึ่งทำให้เหมาะสมในการวัดความสำคัญของคุณลักษณะการบริการในการวิจัยตลาดอย่างแม่นยำ การศึกษาหลายชิ้นได้นำการถดถอยค่าแชปลีย์ ไปใช้ในการวิเคราะห์ปัจจัยหลักในการวิจัยการตลาด Pokryshevskaya และ Antipov (2012) ใช้วิธีนี้ในการวิเคราะห์เจตนาการซื้อซ้ำของลูกค้าออนไลน์ แสดงให้เห็นถึงประสิทธิภาพในการเข้าใจพฤติกรรมของผู้บริโภค เช่นเดียวกัน Antipov และ Pokryshevskaya (2014) ได้นำการถดถอยค่าแชปลีย์ ไปใช้ในการอธิบายความแตกต่างในอัตราการแนะนำโรงแรมในไซปรัสใต้ โดยเน้นประโยชน์ในอุตสาหกรรมการบริการ การตรวจสอบเพิ่มเติมเกี่ยวกับประโยชน์ของค่าแชปลีย์ ในการวิเคราะห์ปัจจัยหลักได้แก่ Vriens, Vidden และ Bosch (2021) ที่เน้นข้อดีในการวิเคราะห์การตลาดที่ใช้จริง

ในการเรียนรู้ของเครื่อง

ค่าแชปลีย์ ให้วิธีการที่มีหลักการในการอธิบายการคาดการณ์ของแบบจำลองที่ไม่เป็นเชิงเส้นซึ่งเป็นที่นิยมในสาขาการเรียนรู้ของเครื่อง โดยการตีความแบบจำลองที่ฝึกฝนด้วยชุดของคุณลักษณะเป็นฟังก์ชันค่าในกลุ่มผู้เล่น ค่าแชปลีย์ จะช่วยให้คำนวณได้ว่าคุณลักษณะใดมีส่วนช่วยในการคาดการณ์ หรือมีส่วนช่วยในความไม่แน่นอนของการคาดการณ์ วิธีนี้รวมหลายวิธีอื่น ๆ เช่น Locally Interpretable Model-Agnostic Explanations (LIME) DeepLIFT และ Layer-Wise Relevance Propagation

อ่านหนังสือเพิ่ม

• Friedman, James W. (1986). Game Theory with Applications to Economics. New York: Oxford University Press. pp. 209–215. ISBN 0-19-503660-3.

ดูเพิ่ม

• ปัญหาสนามบิน
• ดัชนีพลังของบานซาฟ
• ดัชนีพลังของแชปลีย์–ชูบิก

แหล่งข้อมูลอื่น

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Shapley value", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Shapley Value Calculator
• Calculating a Taxi Fare using the Shapley Value