ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด

ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด
ประเภท	ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียว
โครงสร้างข้อมูล	กราฟ
ประสิทธิภาพเมื่อเกิดกรณีแย่ที่สุด
ปริมาณความต้องการพื้นที่เมื่อเกิดกรณีแย่ที่สุด
	ด; ค; ก;

ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด (อังกฤษ: Bellman-Ford Algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแก้ปัญหาวิถีสั้นสุดแบบแหล่งต้นทางเดียวสำหรับเส้นเชื่อมที่มีน้ำหนักใดๆ นอกจากนี้ขั้นตอนวิธียังสามารถตรวจพบวัฏจักรที่มีน้ำหนักรวมของเส้นเชื่อมเป็นลบ หรือที่เรียกว่าวัฏจักรเชิงลบ (อังกฤษ: Negative cycle) ซึ่งทำให้ปัญหาวิถีสั้นสุดไม่นิยาม ขั้นตอนวิธีนี้ถูกคิดค้นโดยนักพัฒนาชื่อริชาร์ด เบลแมน (Richard Bellman) และเลสเตอร์ ฟอร์ด จูเนียร์ (Lester Ford Jr)

แนวคิด

ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ดนั้นมีแนวคิดดังนี้

ใช้ได้กับกราฟที่มีน้ำหนักของเส้นเชื่อมทั้งบวกและลบ แต่ไม่สามารถใช้ได้กับกราฟที่มีวงจรเชิงลบ
กรณีที่ในกราฟนั้นมีวงจรเชิงลบจะแจ้งให้ผู้ใช้ทราบ
ใช้กำหนดการพลวัต
วิถีสั้นสุดจาก s ไป t ต้องไม่ผ่านปมซ้ำ และมีเส้นเชื่อมในวิถีอย่างมาก |v|-1 เส้น เมื่อ v แทนเส้นเชื่อมทั้งหมดในกราฟนั้น

ขั้นตอนวิธี

ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ดนั้นอยู่ในโครงสร้างพื้นฐานที่คล้ายกับขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา โดยมีอัตราการเติบโตของการทำงานเป็น "O(|V||E|)" เมื่อ |V| และ |E| คือจำนวนปมและเส้นเชื่อมของกราฟนั้นๆ ตามลำดับ

เริ่มต้นพิจารณาจากแนวคิดพื้นฐานง่ายๆว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดที่ไปยังปมทั้งหมดนั้นเป็นอนันต์ จากนั้นทำสัญลักษณ์ว่าได้ความยาวของเส้นทางเป็นศูนย์ ดังภาพ

จากนั้นพยายามเดินไปตามเส้นทางในทุกเส้นเชื่อมของกราฟระบุทิศทาง ถ้าพบว่าเมื่อไปตามเส้นเชื่อมนั้นแล้วตึงก็ให้พยายามที่จะผ่อนมัน

การผ่อนเส้นเชื่อมของกราฟ หมายถึง การตรวจสอบเพื่อดูว่าเส้นทางที่ไปยังปมนั้นไม่สามารถสั้นลงได้(เมื่อดูจากน้ำหนักของแต่ละเส้นเชื่อม) จากตัวอย่างกราฟข้างต้น เริ่มแรกเมื่อตรวจสอบที่เส้นทางจากปมที่ 1 ไปยังปมที่ 2 พบว่ามีน้ำหนักเส้นเชื่อมคือ 6 ซึ่งเป็นความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากปมที่ 1 ไปยังปมที่ 2 ที่มีค่าน้อยกว่าอนันต์ ดังนั้นจึงแทนค่าอนันต์ในปมที่ 2 ด้วย 6 และเมื่อพิจารณาเส้นทางจากปมที่ 1 ไปยังปมที่ 4 พบว่ามีน้ำหนักเส้นเชื่อมคือ 7 ซึ่งเป็นความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากปมที่ 1 ไปยังปมที่ 4 ที่มีค่าน้อยกว่าอนันต์ ดังนั้นจึงแทนค่าอนันต์ในปมที่ 4 ด้วย 7

ทำตามขั้นตอนนี้ไปเรื่อนๆเป็นจำนวน n - 1 ครั้ง เมื่อ n แทนจำนวนปมทั้งหมดในกราฟที่พิจารณา ดังนั้นในตัวอย่างนี้จะต้องใช้ขั้นตอนดังกล่างนี้ 4 ครั้ง ดังภาพ

รหัสเทียม

ข้อมูลนำเข้า คือ กราฟระบุทิศทางที่เส้นเชื่อมมีน้ำหนักที่มี v ปม

ข้อมูลส่งออก คือ ป้าย D[u] สำหรับปม u ใดๆบนกราฟ โดย D[u] คือระยะทางจากปม v ถึงปม u บนกราฟ ซึ่งกราฟนี้ต้องไม่มีวงจรเชิงลบ

 1 กำหนดให้ D[v] มีค่าเท่ากับ 0
 2 ตั้งแต่ แต่ละปม u ไม่เท่ากับปม v ในกราฟ G
 3     กำหนดให้ D[u] มีค่าเป็นอนันต์
 4 ตั้งแต่ i := 1 ถึง n-1
 5     ตั้งแต่ ทุกเส้นเชื่อมที่ออกจากปม z
 6         ถ้า (D[u]+w(u,z))<D[z]
 7             จะให้ D[z]เก็บค่า D[u]+w(u,z) //w(u,z) คือการดำเนินการของการผ่อนเส้นเชื่อมกราฟ
 8         ถ้าไม่มีเส้นเชื่อมใดเลยที่ถูกผ่อน
 9             จะคืนค่าระยะทางจากปม v ถึงปม u ของแต่ละปม u
10        ไม่เช่นนั้น
11            จะคืนกลับมาว่า"กราฟนี้มีวงจรเชิงลบ"

การวิเคราะห์อัตราการเติบโต

จากรหัสเทียมข้างต้นจะพบว่าการดำเนินการของขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ดนั้นจะมีการทำงานอยู่ 2 ส่วนหลัก คือ

วงวนที่มีการวนเพื่อตรวจสอบความตึงของน้ำหนักเส้นเชื่อมในกราฟ ซึ่งจะทำงานเป็นเวลานานเท่าจำนวนเส้นเชื่อมที่มี ดังนั้น จะใช้เวลาในการทำงานส่วนนี้เป็น O(|E|) เมื่อ E คือจำนวนเส้นเชื่อมของกราฟหนึ่งๆ
ส่วนการทำงานที่ต้องผ่านปมทุกปมในกราฟจะใช้เวลาทั้งหมดเป็น O(|V|) เมื่อ V คือจำนวนปมของกราฟหนึ่งๆ

เพราะฉะนั้นจึงสรุปได้ว่าชั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ดมีอัตราการเติบโตเท่ากับ O(|V||E|)

การนำไปใช้งาน

วิถีสั้นสุดในกราฟมีทิศทาง
โพรโตคอลเลือกเส้นทางแบบตารางระยะทาง (RIP)

ตัวอย่างรหัสในภาษาต่างๆ

C
C++ เก็บถาวร 2011-10-06 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
Java เก็บถาวร 2013-02-17 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
PHP เก็บถาวร 2011-09-12 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
Python

ดูเพิ่ม

ULearn การออกแบบอัลกอริทึม (สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล)
ภาพเคลื่อนไหว ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด
Bellman-ford Algorithm E-leaning(Introduction to Algorithms)
ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการหาระยะทางเส้นทางสั้นสุดของคู่ปมใดๆ สำหรับกราฟที่มีความยาวของเส้นเชื่อมไม่เป็นลบ
ขั้นตอนวิธีของจอห์นสัน เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้หาเส้นทางสั้นที่สุดระหว่างทุกคู่จุด ในกราฟระบุทิศทางที่มีเส้นเชื่อมน้อย ขั้นตอนวิธีนี้สามารถใช้น้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นจำนวนลบได้ แต่ต้องไม่มีวงรอบที่น้ำหนักติดลบอยู่ด้วย
ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล เป็นขั้นตอนวิธีการวิเคราะห์กราฟเพื่อที่จะหาระยะทางของเส้นทางสั้นสุดในกราฟที่มีน้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นบวก หรือ น้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นลบ แต่ไม่สามารถหาได้ถ้ามีวงจรลบ

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น