การแปลง Z ขั้นสูง

การแปลง Z ขั้นสูง (อังกฤษ: advanced Z-transform หรือ modified Z-transform) เป็นการแปลง Z ที่ได้ผนวกผลของการหน่วง (delay) ที่ไม่ได้เป็นพหุคูณของอัตราการชักตัวอย่าง (sampling rate) บนโดเมนเวลาของสัญญาณ การแปลง Z ขั้นสูงถูกประยุกต์ใช้กันอย่างมากในการประมวลผลสัญญาณ (signal processing) และการควบคุมดิจิทัล (digital control) ตัวอย่างเช่น การสร้างแบบจำลองการประมวลผลสัญญาณที่รวมผลของการหน่วงเชิงเวลาแบบแม่นยำ เป็นต้น

การแปลง Z ขั้นสูง ถูกเสนอโดย จูรี่ (Eliahu Ibraham Jury) นักทฤษฎีระบบควบคุมผู้ได้รับรางวัล Richard E. Bellman Control Heritage Award ประจำปี ค.ศ. 1993

นิยาม

การแปลง Z ขั้นสูง มีนิยามดังต่อไปนี้

$F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}$

โดยที่

• T คาบของการชักตัวอย่าง (sampling period)
• m พารามิเตอร์การหน่วง (delay parameter) โดยที่ $m\in [0,T)$

คุณสมบัติ

ภาวะเชิงเส้น

${\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F(z,m)$

การเลือนเชิงเวลา

${\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m)$

การหน่วง

${\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m)$

การคูณเชิงเวลา

${\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m)$

ทฤษฎีค่าสุดท้าย

$\lim _{k=\infty }f(kT+m)=\lim _{z=1}(1-z^{-1})F(z,m)$

หมายเหตุ: ในกรณีที่ พารามิเตอร์การหน่วง m เป็นคงคงที่ ในกรณีนี้คุณสมบัติของการแปลง Z แบบปรกติกับการแปลง Z ขั้นสูงจะเหมือนกันทั้งหมด

ตารางการแปลง Z ขั้นสูงของฟังก์ชันต่าง ๆ

f(t)	F(z,m)
1(t)	${\frac {z}{z-1}}$
t	${\frac {mT}{z-1}}+{\frac {T}{(z-1)^{2}}}$
e-at	${\frac {e^{-amT}}{z-e^{-aT}}}$
1 - e-at	${\frac {1}{z-1}}+{\frac {e^{-amT}}{z-e^{-aT}}}$
sin ωt	${\frac {z\sin {(m\omega T)}+\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}$

ตัวอย่าง

ในที่นี้เรากำหนดให้ $f(t)=\cos(\omega t)$

${\begin{aligned}F(z,m)=&{\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\=&{\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\=&\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\=&\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\=&{\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (T-m))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\end{aligned}}$

ถ้า $m=0$ แล้ว $F(z,m)$ จะลดรูปกลายเป็นการแปลง Z แบบปรกติ

$F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}$

ซึ่งก็ตรงกับผลการแปลงการแปลง Z แบบปรกติของ $f(t)$ นั้นเอง

เพิ่มเติม

• Z-transform

บรรณานุกรม

• Eliahu Ibraham Jury, Theory and Application of the Z-Transform Method, Krieger Pub Co, 1973. ISBN 0-88275-122-0.