การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง

การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง (อังกฤษ: continuous Fourier transform) เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบหนึ่งซึ่งทำการแมพฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกฟังก์ชันหนึ่ง อีกนัยหนึ่งการแปลงฟูรีเยนั้นเป็นการแยกองค์ประกอบของฟังก์ชัน ตามสเปกตรัมของความถี่ที่มีค่าต่อเนื่อง และใช้หมายถึง ค่าสัญญาณใน "โดเมนของความถี่" ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม

(ดูเพิ่มเติมที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย)

นิยาม

สมมุติ f เป็นฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และสามารถหาปริพันธ์ลูเบกได้ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง F และการแปลงกลับ จะกำหนดโดย

การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง	การแปลงกลับ
${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt$	${\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\}=f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega$

โดยที่ จำนวนจริง ω คือค่าความถี่เชิงมุม และมีค่าของการแปลง F(ω) เป็นจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย ขนาด และ มุม ขององค์ประกอบของฟังก์ชัน f(t) ที่แต่ละความถี่

สัมประสิทธิ์ของการปรับขนาด (normalization factor) $1/{\sqrt {2\pi }}$ ที่อยู่ในส่วนการแปลง และ การแปลงกลับนั้น สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยมีเงื่อนไขที่ผลคูณของสัมประสิทธิ์การแปลงไปและกลับ จะต้องเท่ากับ $\,1/2\pi \,$ เช่น อาจเลือกสัมประสิทธิ์ของการแปลงเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์ของการแปลงกลับเท่ากับ $\,1/2\pi \,$ (ซึ่งเป็นค่าที่นิยมใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม ส่วนค่าสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในนิยามด้านบนนั้นนิยมใช้ในทางคณิตศาสตร์เนื่องจากความสมมาตร) เหตุผลของเงื่อนไขผลคูณของสัมประสิทธิ์นี้ เพื่อให้การแปลงครบรอบนั้นเป็นการแปลงเอกลักษณ์ เช่น เมื่อทำการแปลง f(t) ไปเป็น F(ω) และแปลงกลับ จะได้ f(t) โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด เรียกคุณสมบัติว่า ยูนิแทรี (unitary)

ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม อาจใช้การแปลงไปเป็นฟังก์ชันของความถี่ แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม ω นิยมใช้สัญลักษณ์ f หรือ $\nu$ แทนความถี่โดยที่ $f=2\pi \omega$

ตารางต่อไปนี้สรุปการแปลงฟูรีเยต่อเนื่องแบบต่างๆ ที่นิยมใช้ เพื่อป้องกันความสับสน ในตารางข้างล่างนี้ f หมายถึงความถึ่ ส่วนฟังก์ชัน ใช้ x(t) แทน f(t) ส่วนเนื้อหาในหัวข้อถัดๆไป จะใช้การแปลงแบบแรกในตารางเป็นหลัก

สรุปรูปแบบที่นิยมของการแปลงฟูรีเย

ความถี่เชิงมุม $\omega \,$ (rad/s)	ยูนิแทรี	$X_{1}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i\omega t}\,dt\ ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}X_{2}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}X_{3}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\,$ $x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }X_{1}(\omega )\ e^{i\omega t}\,d\omega \$
	ไม่เป็นยูนิแทรี	$X_{2}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i\omega t}\ dt\ ={\sqrt {2\pi }}\ X_{1}(\omega )=X_{3}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\,$ $x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X_{2}(\omega )\ e^{i\omega t}\ d\omega \$
ความถี่ $f\,$ (hertz)	ยูนิแทรี	$X_{3}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ dt\ ={\sqrt {2\pi }}\ X_{1}(2\pi f)=X_{2}(2\pi f)\,$ $x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X_{3}(f)\ e^{i2\pi ft}\,df\$

รูปทั่วไป

คู่ของการแปลงไปกลับดังกล่าวข้างต้น จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปดังนี้

$F(\omega )={\sqrt {\frac {|b|}{(2\pi )^{1-a}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-ib\omega t}\,dt$

$f(t)={\sqrt {\frac {|b|}{(2\pi )^{1+a}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{ib\omega t}\,d\omega$

โดยที่ ค่าคงที่ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่สามารถเลือกได้โดยอิสระตามบริบท ของการประยุกต์ใช้งาน ตามบริบทของบทความนี้ในนิยามข้างต้นเลือก $(a,b)=(0,1)$ สำหรับการแปลงไม่เป็นยูนิทารี $(a,b)=(1,1)$

ค่า a และ b ที่นิยมใช้ใน การประมวลผลสัญญาณคือ $(a,b)=(0,2\pi )$ ซึ่งในกรณีนี้ $\omega$ จะหมายถึงความถี่ (แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม) และมักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\nu$ หรือ f ในกรณีที่ a และ b เป็นค่าที่มีหน่วย ผลคูณของทั้งสองจะต้องเป็นค่าทีไม่มีหน่วย เช่น หาก a มีหน่วยเวลา b จะมีหน่วยเป็น เฮิรตซ์ หรือ เรเดียนต่อวินาที

การแปลงในมิติที่สูงขึ้น

สำหรับฟังก์ชัน f(x) ของ เวกเตอร์ x ซึ่งเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิมิติ N และ k (หรือเรียก เวกเตอร์คลื่น) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิของการแปลง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องจะกำหนดโดย

$F(\mathbf {k} )=\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\right)^{N}\int _{\mathbb {R} ^{N}}f(\mathbf {x} )\,e^{-i\,\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x}$

โดยที่ dx เป็นอนุภาคของปริมาตรในมิติ N และสัญลักษณ์การคูณในค่ายกกำลัง หมายถึง การคูณภายใน (dot product) และจากคุณสมบัติ ออทอโกนัล ในมิติ N:

$\delta (\mathbf {k} )=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{N}\int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{\pm i\,\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x}$

เราจะได้การแปลงกลับ ดังนี้:

$f(\mathbf {x} )=\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\right)^{N}\int _{\mathbb {R} ^{N}}F(\mathbf {k} )\,e^{+i\,\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {k}$

คู่ของการแปลง

ตรารางแสดงคู่ของการแปลงที่สำคัญ โดยใช้การแปลงตามนิยามในตอนต้นของบทความ โดยที่สัญลักษณ์ $f(t)\,\iff \,F(\omega )$ หมายถึง ${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega )$

คุณสมบัติ	ฟังก์ชัน		ผลการแปลงฟูรีเย
	$\,f(t),g(t)\,$	$\iff$	$\,F(\omega ),G(\omega )\,$
ความเป็นเชิงเส้น	$af(t)+bg(t)\,$	$\iff$	$aF(\omega )+bG(\omega )\,$
การสลับ *	$F(t)\,$	$\iff$	$f(-\omega )\,$
การเลื่อน (translation)	$f(t-a)\,$	$\iff$	$e^{-i\omega a}F(\omega )\,$
การมอดูเลต (modulation)	$e^{iat}f(t)\,$	$\iff$	$F(\omega -a)\,$
สังยุค (conjugation)	${\overline {f(t)}}\,$	$\iff$	${\overline {F(-\omega )}}\,$
การสเกล	$f\left({\frac {t}{a}}\right)\,$	$\iff$	$|a|F(a\omega )\,$
การคอนโวลูท (convolution) *	$(f*g)(t)\,$	$\iff$	${\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )\,$
การคูณ *	$f(t)g(t)\,$	$\iff$	${1 \over {\sqrt {2\pi }}}(F*G)(\omega )\,$
อนุพันธ์ของเวลา	$f^{(n)}(t)\,$	$\iff$	$(i\omega )^{n}F(\omega )\,$
อนุพันธ์ของความถี่	$(-it)^{n}f(t)\,$	$\iff$	$F^{(n)}(\omega )\,$
ปฏิยานุพันธ์ของเวลา	$\int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \,$	$\iff$	${\frac {1}{i\omega }}F(\omega )+\pi F(0)\cdot \delta (\omega )\,$

หมายเหตุ : * คือ คู่ของการแปลง ที่อาจมีสัมประสิทธิ์ $1,2\pi ,{\sqrt {2\pi }}$ แตกต่างไป ขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของการปรับขนาดที่ใช้ในนิยามของการแปลง