กราฟสองส่วน

ในคณิตศาสตร์สาขาทฤษฎีกราฟ กราฟสองส่วน (bipartite graph) คือ กราฟที่เซตจุดยอดสามารถแบ่งได้เป็น 2 เซตที่ไม่มีส่วนร่วมกัน และจุดยอด 2 จุดใด ๆ ในเซตเดียวกัน จะไม่มีเส้นเชื่อมเชื่อมระหว่างกัน

กราฟสองส่วนมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาการจับคู่ (matching problems) เช่น ปัญหาการจัดงาน สมมติว่ามีคนอยู่ P คน และมีงานอยู่ J งาน ซึ่งแต่ละคนจะทำงานได้บางงานเท่านั้น เราจะแทนปัญหานี้ด้วยกราฟที่มีจุดยอด P + J จุด ถ้า $p_{i}$ สามารถทำงาน $j_{i}$ ได้ เราจะแทนด้วยเส้นเชื่อมเชื่อมระหว่าง $p_{i}$ กับ $j_{i}$

ทฤษฎีบทการสมรส (marriage theorem) นั้นใช้คุณสมบัติของกราฟเรื่อง การจับคู่สมบูรณ์ (perfect matchings)

นิยาม

กราฟไม่ระบุทิศทางเชิงเดียว (simple undirected graph) $G:=(V,E)$ จะเป็นกราฟสองส่วน ถ้ามีการแบ่งกั้นที่แบ่งเซตจุดยอด $V=V_{1}\cup V_{2}$ ซึ่ง $V_{1}$ และ $V_{2}$ เป็นเซตอิสระ เราเขียน $G:=(V_{1}+V_{2},E)$ แทนกราฟสองส่วนที่มีผลแบ่งกั้นระหว่าง $V_{1}$ กับ $V_{2}$

ตัวอย่าง

• ต้นไม้ทุกต้น เป็นกราฟสองส่วน
• กราฟวัฏจักรที่มีจุดยอดเป็นจำนวนคู่ เป็นกราฟสองส่วน

คุณสมบัติ

• กราฟเป็นกราฟสองส่วน ก็ต่อเมื่อ มันไม่มีวัฏจักรที่มีจุดยอดเป็นจำนวนคี่
• กราฟเป็นกราฟสองส่วน ก็ต่อเมื่อ มันเป็นกราฟสองสี

ดูเพิ่ม

• กราฟสองส่วนบริบูรณ์