ฟังก์ชันเมอบีอุส

ฟังก์ชันเมอบีอุส (อังกฤษ: Möbius function) คลาสสสิก $μ (n)$ เป็นฟังก์ชันเชิงการคูณสำคัญในทฤษฎีจำนวนและคณิตศาสตร์เชิงการจัด นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ออกุส เฟอร์ดีนันด์ เมอบีอุสเป็นผู้ริเริ่มในปี 1832^[1]^[2] เป็นกรรีพิเศษของวัตถุทั่วไปกว่าในคณิตศาสตร์เชิงการจัด

บทนิยาม

สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ $n$ นิยาม $μ (n)$ ว่าเป็นผลรวมของ รากที่ $n$ ปฐมฐานของ 1 มีค่าใน {−1, แม่แบบ:Num, แม่แบบ:Num} ขึ้นอยู่กับการแยกตัวประกอบของ $n$ เป็นตัวประกอบเฉพาะ

$μ (n) = - 1$ ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกสแควร์ฟรี (square-free) ที่มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะคู่
$μ (n) = -1$ ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกสแควร์ฟรีที่มีจำนวนตัวประกอบเฉพาะคี่
$μ (n) = - 0$ ถ้า $n$ มีตัวประกอบเฉพาะกำลังสอง

ฟังก์ชันเมอบีอุสสามารถแสดงอีกอย่างได้เป็น

\mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n)

โดยที่ $δ ω (n)Ω(n)$ เป็น โครเนกเกอร์เดลตา, $λ (n)$ เป็น ฟังก์ชันอูลวิลล์, $ω (n)$ เป็นจำนวนตัวหารเฉพาะไม่ซ้ำกันของ $n$ , และ $Ω(n)$ เป็นจำนวนตัวประกอบเฉพาะของ $n$ , ที่นับด้วยภาวะรากซ้ำ

ค่าของ $μ (n)$ สำหรับจำนวนบวก 30 จำนวนแรก (ลำดับ A008683) ได้แก่

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$μ (n)$	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1

$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$μ (n)$	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

$n$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
$μ (n)$	1	1	−1	0	0	1	0	0	−1	−1

50 ค่าแรกของฟังก์ชันลงจุดได้ด้านล่าง

อ้างอิง

↑ Hardy & Wright, Notes on ch. XVI: "... $μ (n)$ occurs implicitly in the works of Euler as early as 1748, but Möbius, in 1832, was the first to investigate its properties systematically."
↑ In the Disquisitiones Arithmeticae (1801) Carl Friedrich Gauss showed that the sum of the primitive roots ( $mod p$ ) is $μ (p - 1)$ , (see #Properties and applications) but he didn't make further use of the function. In particular, he didn't use Möbius inversion in the Disquisitiones.

[1] Hardy & Wright, Notes on ch. XVI: "... $μ (n)$ occurs implicitly in the works of Euler as early as 1748, but Möbius, in 1832, was the first to investigate its properties systematically."

[2] In the Disquisitiones Arithmeticae (1801) Carl Friedrich Gauss showed that the sum of the primitive roots ( $mod p$ ) is $μ (p - 1)$ , (see #Properties and applications) but he didn't make further use of the function. In particular, he didn't use Möbius inversion in the Disquisitiones.

[1]

[2]