มัชฌิมเรขาคณิต

มัชฌิมเรขาคณิตตัวอย่าง: $l_{g}$ (สีแดง) เป็นมัชฌิมเรขาคณิตของ $l_{1}$ กับ $l_{2}$ โดยในตัวอย่างนี้ ส่วนของเส้นตรง $l_{2}\;({\overline {BC}})$ ถูกกำหนดให้ตั้งฉากกับ ${\overline {AB}}$ (ภาพเคลื่อนไหวจะค้างไว้ 10 วินาทีก่อนเริ่มเล่นใหม่อีกครั้ง )

ในวิชาคณิตศาสตร์ มัชฌิมเรขาคณิต เป็นค่ามัชฌิมหรือค่าเฉลี่ยที่บ่งบอกถึงแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจำนวนชุดหนึ่งด้วยผลคูณของค่าแต่ละค่า (ต่างจากมัชฌิมเลขคณิตซึ่งใช้ผลบวกของค่าแต่ละค่า) นิยามของมัชฌิมเรขาคณิตคือรากที่ n ของผลคูณของจำนวน n จำนวน กล่าวได้ว่า สำหรับชุดของจำนวน a₁, a₂, ..., a_n มัชฌิมเรขาคณิตมีนิยามเป็น

$\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

หรือแสดงออกโดยสมมูลกันเป็นมัชฌิมเลขคณิตของแต่ละจำนวนในมาตราส่วนลอการิทึม

$\exp {\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\right)}$

ยกตัวอย่าง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน อาทิ 2 กับ 8 เป็นรากที่สอง (square root) ของผลคูณของทั้งสองจำนวน นั่นคือ ${\sqrt {2\cdot 8}}=4$ ยกอีกตัวอย่างหนึ่ง มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวน 4, 1, และ 1/32 เป็นรากที่สามของผลคูณของทั้งสามจำนวน (1/8) นั่นก็คือ 1/2 กล่าวคือ ${\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}=1/2$ มัชฌิมเรขาคณิตใช้ได้กับจำนวนบวกเท่านั้น

มัชฌิมเรขาคณิตมักถูกใช้สำหรับชุดของจำนวนซึ่งจะนำมาคูณกันหรือมีลักษณะเป็นเลขยกกำลัง เช่นตัวเลขการเติบโตต่าง ๆ อาทิจำนวนประชากรโลกหรืออัตราดอกเบี้ยของการลงทุนทางการเงินเมื่อเวลาผ่านไป นอกจากนี้ยังถูกนำมาใช้ในการวัดเปรียบเทียบสมรรถนะของคอมพิวเตอร์ โดยมีประโยชน์สำหรับการคำนวณค่ามัชฌิมของอัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้น (speedup) เพราะค่ามัชฌิมของจำนวน 0.5x (ช้าลงครึ่งหนึ่ง) กับ 2x (เร็วขึ้นสองเท่า) จะเป็นจำนวนเท่ากับ 1 (ไม่เร็วขึ้น)

สามารถทำความเข้าใจมัชฌิมเรขาคณิตในแง่ของเรขาคณิตได้ มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสองจำนวน $a$ กับ $b$ เป็นความยาวของด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว $a$ และ $b$ มัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนสามจำนวนก็คล้ายกัน มัชฌิมเรขาคณิตของ $a$, $b$, กับ $c$ เป็นความยาวของสันหนึ่งของทรงลูกบาศก์ซึ่งมีปริมาตรเท่ากับปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (cuboid) ที่แต่ละสันยาวเท่ากับจำนวนสามจำนวนที่กำหนดมา

มัชฌิมเรขาคณิตเป็นหนึ่งในสามค่ามัชฌิมพีทาโกรัสเช่นเดียวกับมัชฌิมเลขคณิตและมัชฌิมฮาร์มอนิก (harmonic mean) สำหรับชุดข้อมูลจำนวนบวกทุกชุดซึ่งมีสองจำนวนที่มีไม่เท่ากันเป็นอย่างน้อย มัชฌิมฮาร์มอนิกจะมีค่าน้อยที่สุดเสมอ มัชฌิมเลขคณิตจะมีค่ามากที่สุดจากมัชฌิมทั้งสามชนิด และมัชฌิมเรขาคณิตจะอยู่ระหว่างทั้งสองค่า (ดูที่อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต (Inequality of arithmetic and geometric means))

การคำนวณ

มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$ มีนิยามเป็น:

$\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.$

สมการนี้ใช้สัญกรณ์ π ตัวใหญ่เพื่อแสดงถึงการคูณเป็นลำดับ ทั้งสองฝั่งของสมการแสดงการคูณค่าชุดหนึ่งตามลำดับ ("n" คือจำนวนของค่าทั้งหมด) เพื่อให้ได้ผลคูณรวมของเซต จากนั้นจึงหารากที่ n ของผลคูณรวมเพื่อหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูล ตัวอย่างเช่น หากมีเซตของจำนวนสี่จำนวน ${\textstyle \{1,2,3,4\}}$ ผลคูณของ ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ เท่ากับ ${\textstyle 24}$ แล้วค่ามัชฌิมเรขาคณิตจะเท่ากับรากที่สี่ของ 24 หรือประมาณ 2.213 เลขชี้กำลัง ${\textstyle {\frac {1}{n}}}$ ที่ฝั่งซ้ายแสดงถึงการหารากที่ n กล่าวคือ ${\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}$.

การคำนวณด้วยการทำซ้ำ

มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลชุดหนึ่งจะน้อยกว่ามัชฌิมเลขคณิตของชุดข้อมูลนั้น ยกเว้นหากสมาชิกทุกตัวในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน ในกรณีนี้ค่ามัชฌิมเรขาคณิตและเลขคณิตจะมีค่าเท่ากัน เหตุนี้ทำให้สามารถให้นิยามค่ามัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต (arithmetic-geometric mean) ได้ ซึ่งเป็นส่วนร่วมกันระหว่างทั้งสองที่จะให้ค่าออกมาระหว่างทั้งสองค่านั้นเสมอ

มัชฌิมเรขาคณิตคือ มัชฌิมเลขคณิต-ฮาร์มอนิก ด้วย ในแง่ที่หากมีลำดับอยู่สองลำดับ (${\textstyle a_{n}}$ และ ${\textstyle h_{n}}$) ที่มีนิยามว่า:

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x$

และ

$h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y$

โดยที่ ${\textstyle a_{n+1}}$ คือมัชฌิมเลขคณิตและ ${\textstyle h_{n+1}}$ คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของค่าในลำดับก่อน ๆ ของทั้งสองลำดับ แล้ว ${\textstyle a_{n}}$ และ ${\textstyle h_{n}}$ จะลู่เข้าหาค่าของมัชฌิมเรขาคณิตของ ${\textstyle x}$ และ ${\textstyle y}$ ทั้งสองลำดับจะลู่เข้าหาลิมิตเดียวกัน และคงสภาพของมัชฌิมเรขาคณิตไว้:

${\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}$

และได้ผลลัพธ์เดียวกันเมื่อแทนที่มัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกด้วยมัชฌิมทั่วไป (generalized mean) สองค่าที่มีเลขชี้กำลัง $p$ เป็นจำนวนจำกัดที่มีค่าตรงข้ามกัน เช่น 1 กับ -1

ความสัมพันธ์กับลอการิทึม

มัชฌิมเรขาคณิตสามารถถูกแสดงออกในรูปเลขชี้กำลังของมัชฌิมเลขคณิตของลอการิทึมได้ การคูณสามารถแสดงออกเป็นผลรวมและการยกกำลังสามารถแสดงออกเป็นการคูณได้โดยใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมเพื่อแปลงสภาพของสูตร:

โดยที่ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0$

$\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right];$

เพราะ

${\begin{aligned}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}&={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\&=e^{\ln(a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{1/n}}\\&=e^{{\frac {1}{n}}\left(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots +\ln a_{n}\right)}\\&=e^{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\\{\text{geometric mean(}}a{\text{)}}&=e^{{\text{arithmetic mean(ln(}}a{\text{))}}}\end{aligned}}$

หรือสามารถใช้ฐานเป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ ก็ตามทั้งในลอการิทึมและเลขยกกำลัง

นอกจากนั้น หากให้ $a_{i}$ เป็นจำนวนลบได้

$\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(\left(-1\right)^{m}\right)^{\frac {1}{n}}\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left|a_{i}\right|\right],$

โดยที่ m คือจำนวนของจำนวนลบ

นี่บางครั้งถูกเรียกว่า log-average (อย่าสับสนกับมัชฌิมลอการิทึม (logarithmic average)) เพราะเป็นการคำนวณหาค่ามัชฌิมเลขคณิตของค่า $a_{i}$ ที่ถูกแปลงเป็นรูปลอการิทึม (กล่าวคือเป็นมัชฌิมเลขคณิตในมาตราส่วนลอการิทึม) แล้วจากนั้นใช้การยกกำลังเพื่อแปลงการคำนวณกลับไปยังมาตราส่วนเดิม นั่นคือ เป็นมัชฌิมกึ่งเลขคณิต (Quasi-arithmetic mean) ที่ $f(x)=\log x$ ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 8 สามารถคำนวณหาได้ดังนี้ โดย $b$ เป็นฐานค่าใดก็ตามของลอการิทึม (โดยทั่วไปจะเท่ากับ 2 ค่า $e$ หรือ 10):

$b^{{\frac {1}{2}}\left[\log _{b}(2)+\log _{b}(8)\right]}=4$

สำหรับชุดข้อมูล $a_{1},\ldots ,a_{n}$ เราสามารถมองค่ามัชฌิมเรขาคณิตได้ว่าเป็นค่าที่จะให้ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

$f(a)=\sum _{i=1}^{n}(\log(a_{i})-\log(a))^{2}=\sum _{i=1}^{n}(\log(a_{i}/a))^{2}$,

โดยทั่วไป รูปลอการิทึมเป็นทางเลือกที่ได้รับความนิยมในการปฏิบัติใช้มัชฌิมเรขาคณิตในภาษาคอมพิวเตอร์ เพราะการคำนวณผลคูณของจำนวนหลายจำนวนอาจนำให้เกิดสภาวะน้อยเกินเก็บ (arithmetic underflow) หรือสภาวะมากเกินเก็บเลขคณิต (arithmetic overflow) ซึ่งมีโอกาสเกิดน้อยกว่าในกรณีของการหาผลรวมของลอการิทึมของจำนวนแต่ละจำนวน

เปรียบเทียบกับมัชฌิมเลขคณิต

การพิสูจน์โดยไม่ใช้คำพูดเชิงเรขาคณิตว่า max (a,b) > รูตมีนสแควร์ (RMS) หรือค่าเฉลี่ยกำลังสอง (QM) > มัชฌิมเลขคณิต (AM) > มัชฌิมเรขาคณิต (GM) > มัชฌิมฮาร์มอนิก (HM) > min (a,b) ของจำนวนบวกที่ต่างกันสองจำนวน a และ b

การพิสูจน์อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิตโดยไม่ใช้คำพูด (Proof without words):

$PR$ คือเส้นผ่านศูนย์กลางของรูปวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$; รัศมี $AO$ คือมัชฌิมเลขคณิตของ $a$ กับ $b$; ส่วนสูง $GQ$ ของรูปสามเหลี่ยม $PGR$ คือมัชฌิมเรขาคณิตจากทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต (geometric mean theorem)

$AO\geq GQ$ สำหรับอัตราส่วน $a:b$ ใด ๆ

บทความหลัก: อสมการของมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต

มัชฌิมเรขาคณิตของชุดข้อมูลของจำนวน (บวก) จะมีค่ามากที่สุดไม่เกินไปกว่ามัชฌิมเลขคณิตของมันเสมอ และจะเท่ากันก็ต่อเมื่อทุก ๆ จำนวนในชุดข้อมูลมีค่าเท่ากัน มิเช่นนั้นมัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น มัชฌิมเรขาคณิตของ 2 กับ 3 คือ 2.45 ในขณะที่มัชฌิมเลขคณิตเท่ากับ 2.5

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าเมื่อเซตของจำนวนที่ไม่เหมือนกันถูกทำให้กระจายโดยคงสภาพมัชฌิม (mean-preserving spread) กล่าวคือสมาชิกของเซต "กระจายออกจากกัน" มากขึ้นแต่ไม่ทำให้มัชฌิมเลขคณิตเปลี่ยนไป มัชฌิมเรขาคณิตจะมีค่าน้อยลง

อัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย

ในบางกรณี มัชฌิมเรขาคณิตเป็นค่าที่ใช้วัดอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ยของปริมาณจำเพาะหนึ่งได้ดี อาทิหากคำสั่งซื้อต่อปีเพิ่มขึ้นร้อยละ 80 และร้อยละ 25 ในปีถัดไป ผลจะเท่ากับการมีอัตราการเติบโตคงที่ร้อยละ 50 เพราะมัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80 กับ 1.25 คือ 1.50 ในการหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย ไม่จำเป็นต้องหาผลคูณของอัตราการเติบโตที่วัดได้มาในทุก ๆ ขั้น หากให้ปริมาณมาเป็นลำดับของ $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ โดยที่ $n$ คือจำนวนขั้นจากเริ่มต้นจนจบ อัตราการเติบโตระหว่างการวัดแต่ละครั้ง $a_{k}$ และ $a_{k+1}$ คือ $a_{k+1}/a_{k}$ มัชฌิมเรขาคณิตของอัตราการเติบโตเหล่านี้จึงเท่ากับ:

$\left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.$

การประยุกต์ใช้กับค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน

สมบัติพื้นฐานของมัชฌิมเรขาคณิตซึ่งมัชฌิมชนิดอื่น ๆ ไม่มีคือ หากมีลำดับสองลำดับ $X$ และ $Y$ ที่ความยาวเท่ากัน

$\operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}$

จะทำให้มัชฌิมเรขาคณิตเป็นมัชฌิมชนิดเดียวที่ถูกต้องเมื่อคำนวณหาค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ซึ่งถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน (normalized) กล่าวคือผลลัพธ์ซึ่งแสดงออกเป็นอัตราส่วนกับค่าอ้างอิง กรณีเช่นนี้เกิดขึ้นเมื่อต้องการแสดงประสิทธิภาพของคอมพิวเตอร์เมื่อเทียบกับคอมพิวเตอร์ที่นำมาอ้างอิง หรือเมื่อต้องการคำนวณดัชนีค่าเฉลี่ยค่าเดียวจากแหล่งที่ไม่เป็นแบบเดียวกัน (เช่นการคาดหมายคงชีพ ระยะเวลาการศึกษา และอัตราการเสียชีวิตทารก) ในสถานการณ์เหล่านี้ การใช้มัชฌิมเลขคณิตหรือฮาร์มอนิกจะเปลี่ยนการจัดลำดับของผลลัพธ์โดยขึ้นอยู่กับค่าที่ใช้อ้างอิง ยกตัวอย่างเช่นการเปรียบเทียบเวลากระทำการของโปรแกรมคอมพิวเตอร์ต่าง ๆ ดังต่อไปนี้:

ตาราง 1

	คอมพิวเตอร์ A	คอมพิวเตอร์ B	คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1	1	10	20
โปรแกรม 2	1000	100	20
มัชฌิมเลขคณิต	500.5	55	20
มัชฌิมเรขาคณิต	31.622 . . .	31.622 . . .	20
มัชฌิมฮาร์มอนิก	1.998 . . .	18.182 . . .	20

ทั้งมัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิตเห็นพ้องกันว่าคอมพิวเตอร์ C มีความเร็วประมวลผลสูงที่สุด ทว่าเมื่อเราแสดงด้วยค่าที่ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐานอย่างถูกต้องแล้ว แล้วใช้ค่ามัชฌิมเลขคณิต เราแสดงให้เห็นได้ว่าคอมพิวเตอร์ทั้งสองเครื่องเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด หากใช้ A เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:

ตาราง 2

	คอมพิวเตอร์ A	คอมพิวเตอร์ B	คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1	1	10	20
โปรแกรม 2	1	0.1	0.02
มัชฌิมเลขคณิต	1	5.05	10.01
มัชฌิมเรขาคณิต	1	1	0.632 . . .
มัชฌิมฮาร์มอนิก	1	0.198 . . .	0.039 . . .

ในขณะที่หากใช้ B เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ B จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด แต่หากอ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเป็นคอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุด:

ตาราง 3

	คอมพิวเตอร์ A	คอมพิวเตอร์ B	คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1	0.1	1	2
โปรแกรม 2	10	1	0.2
มัชฌิมเลขคณิต	5.05	1	1.1
มัชฌิมเรขาคณิต	1	1	0.632
มัชฌิมฮาร์มอนิก	0.198 . . .	1	0.363 . . .

และเมื่อใช้ C เป็นบรรทัดฐานและอ้างอิงตามมัชฌิมเลขคณิต คอมพิวเตอร์ C จะเร็วที่สุด แต่เมื่ออ้างอิงตามมัชฌิมฮาร์มอนิก คอมพิวเตอร์ A จะเร็วที่สุด:

ตาราง 4

	คอมพิวเตอร์ A	คอมพิวเตอร์ B	คอมพิวเตอร์ C
โปรแกรม 1	0.05	0.5	1
โปรแกรม 2	50	5	1
มัชฌิมเลขคณิต	25.025	2.75	1
มัชฌิมเรขาคณิต	1.581 . . .	1.581 . . .	1
มัชฌิมฮาร์มอนิก	0.099 . . .	0.909 . . .	1

ในทุก ๆ กรณี ลำดับความเร็วที่อ้างอิงตามมัชฌิมเรขาคณิตคงลำดับเดิมเหมือนกับที่ได้จากค่าที่ยังไม่ได้ถูกทำให้เป็นบรรทัดฐาน

อย่างไรก็ตาม การให้เหตุผลแนวนี้ถูกตั้งคำถาม การได้ผลลัพธ์อย่างคงเส้นคงวาไม่ได้หมายความว่าเป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้องเสมอไป โดยทั่วไปแล้ว จะเข้มงวดกว่าหากกำหนดให้แต่ละโปรแกรมมีน้ำหนักของตัวเอง คำนวณเวลากระทำการเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก (ด้วยมัชฌิมเลขคณิต) แล้วนำผลลัพธ์นั้นมาใช้เป็นบรรทัดฐานกับคอมพิวเตอร์เครื่องใดเครื่องหนึ่ง ทั้งสามตารางด้านบนเพียงแต่กำหนดน้ำหนักให้กับแต่ละโปรแกรมต่างกัน เป็นเหตุที่ผลลัพธ์ของมัชฌิมเลขคณิตกับฮาร์มอนิกไม่สอดคล้องกัน (ตาราง 4 ให้น้ำหนักกับทั้งสองโปรแกรมเท่ากัน ตาราง 2 ให้น้ำหนัก 1/1000 กับโปรแกรมที่สอง และตาราง 3 ให้น้ำหนัก 1/100 กับโปรแกรมที่สองและน้ำหนัก 1/10 กับโปรแกรมที่หนึ่ง) ควรหลีกเลี่ยงการใช้งานมัชฌิมเรขาคณิตในการรวบรวมตัวเลขสมรรถภาพ เพราะการคูณเวลากระทำการด้วยกันไม่มีนัยทางกายภาพใด ๆ ซึ่งต่างจากการบวกเข้าด้วยกันสำหรับมัชฌิมเลขคณิต ตัวชี้วัดซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันกับเวลา (เช่นอัตราความเร็วที่เพิ่มขึ้นหรือคำสั่งต่อรอบ (Instructions per cycle)) ควรเฉลี่ยด้วยมัชฌิมฮาร์มอนิก

มัชฌิมเรขาคณิตและมัชฌิมเรขาคณิตถ่วงน้ำหนักสามารถหาได้จากลิมิตของมัชฌิมทั่วไปเมื่อกำหนดให้เลขชี้กำลัง $p$ มีค่าเข้าใกล้ศูนย์

มัชฌิมเรขาคณิตของฟังก์ชันต่อเนื่อง

หาก $f:[a,b]\to (0,\infty )$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงบวกต่อเนื่อง มัชฌิมเรขาคณิตของมันในช่วงนี้คือ

${\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)$

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันเอกลักษณ์ $f(x)=x$ ในช่วงหนึ่งหน่วยแสดงให้เห็นว่ามัชฌิมเรขาคณิตของจำนวนบวกระหว่าง 0 กับ 1 เท่ากับ ${\frac {1}{e}}$

การประยุกต์ใช้

การเติบโตตามสัดส่วน

ข้อมูลเพิ่มเติม: อัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น

มัชฌิมเรขาคณิตเหมาะสมต่อการอธิบายการเติบโตตามสัดส่วนมากกว่ามัชฌิมเลขคณิต ไม่ว่าจะเป็นการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง (exponential growth) (การเติบโตตามสัดส่วนที่คงที่) หรือการเติบโตแบบแปรผัน มัชฌิมเรชาคณิตของอัตราการเติบโตเป็นที่รู้จักในสาขาบริหารธุรกิจว่าอัตราการเติบโตต่อปีแบบทบต้น (compound annual growth rate; CAGR) มัชฌิมเรขาคณิตของการเติบโตในช่วงเวลาระยะหนึ่งให้ผลลัพธ์เป็นอัตราการเติบโตแบบคงที่ซึ่งจะให้ผลลัพธ์ในตอนสุดท้ายเท่ากัน

สมมุติว่าต้นส้มออกผลส้ม 100 ลูกในปีหนึ่ง จากนั้น 180, 210 และ 300 ลูกในปีถัด ๆ ไป อัตราการเติบโตของแต่ละปีจึงเท่ากับร้อยละ 80, 16.6666 และ 42.8571 ตามลำดับ เมื่อเราคำนวณหาอัตราการเติบโตโดยเฉลี่ย (เชิงเส้น) ด้วยมัชฌิมเลขคณิตได้เท่ากับร้อยละ 46.5079 (80% + 16.6666% + 42.8571% แล้วหารด้วย 3) แต่หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 46.5079 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 314 ลูก ซึ่งไม่ใช่ 300 ค่าเฉลี่ยเชิงเส้นจึงให้ผลลัพธ์ที่เกินจริงไปจากการเติบโตต่อปี

แต่หากเราใช้มัชฌิมเรขาคณิตแทน การเติบโตร้อยละ 80 คือการคูณด้วย 1.80 เราจึงหามัชฌิมเรขาคณิตของ 1.80, 1.166666 และ 1.428571 กล่าวคือ${\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249$ ดังนั้น อัตราการเติบโต "โดยเฉลี่ย" ต่อปีจึงเท่ากับร้อยละ 44.2249 หากเราเริ่มจากส้ม 100 ลูกและให้ออกผลเติบโตร้อยละ 44.2249 ต่อปี ผลลัพธ์จะได้ผลส้ม 300 ลูก

การเงิน

มีการนำมัชฌิมเรขาคณิตมาใช้คำนวณดัชนีทางการเงินต่าง ๆ (การเฉลี่ยแต่ละองค์ประกอบของดัชนี) เช่นในอดีตดัชนีเอฟที 30 (FT 30) ใช้มัชฌิมเรขาคณิต ดัชนีวัดอัตราเงินเฟ้อ RPIJ ของสหราชอาณาจักรและสหภาพยุโรปก็ใช้เช่นกัน

นี่ส่งผลให้ความเคลื่อนไหวภายในดัชนีถูกแสดงออกมาในระดับที่อ่อนลงเมื่อเทียบกับการใช้มัชฌิมเลขคณิต

สังคมศาสตร์

แม้จะหาการใช้มัชฌิมเรขาคณิตในการคำนวณสถิติทางสังคมได้ยากพอสมควร แต่เมื่อ ค.ศ. 2010 ดัชนีการพัฒนามนุษย์ของสหประชาชาติได้เปลี่ยนมาคำนวณด้วยวิธีนี้ โดยให้เหตุผลว่าสะท้อนภาพธรรมชาติของสถิติที่รวบรวมมาและนำมาเปรียบเทียบอันไม่สามารถหาสิ่งใดมาทดแทนได้ได้ดีกว่าเดิม:

มัชฌิมเรขาคณิตลดระดับการทดแทนกันได้ของแต่ละมิติ และรับรองว่าการลดลงร้อยละ 1 ของการคาดหมายคงชีพเมื่อกำเนิดเป็นต้นจะส่งผลต่อดัชนี HDI เท่ากับการลดลงร้อยละ 1 ในการศึกษาหรือรายได้ ดังนั้น การใช้วิธีการนี้เป็นพื้นฐานสำหรับการเปรียบเทียบผลสัมฤทธิ์ต่าง ๆ จะเคารพความแตกต่างในตัวเองของแต่ละมิติมากกว่าวิธีการหาค่าเฉลี่ยแบบง่าย

รายได้ที่กระจายอย่างเท่าเทียมสวัสดิการเทียบเท่าของดัชนีแอตคินสัน (Atkinson Index) ที่มีตัวแปรความรังเกียจความไม่เท่าเทียม (inequality aversion) $\epsilon =1.0$ คือมัชฌิมเรขาคณิตของรายได้ทั้งหมด ส่วนเมื่อตัวแปรนั้นมีค่าที่ไม่เท่ากับ 1 รายได้ดังกล่าวจะมีค่าเท่ากับค่านอร์ม $L^{p}$ ($L^{p}$ space) หารด้วยจำนวนของข้อมูล โดย $p=1-\epsilon$

เรขาคณิต

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากวัดจากมุมฉากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉากคือมัชฌิมเรขาคณิตของความยาวของทั้งสองส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่ถูกแบ่งเป็นสองส่วน ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมทั้งสามรูปของด้าน (p + q, r, s ), (r, p, h ) และ (s, h, q ) ได้
${\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}$

ในกรณีของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสูงคือความยาวของเส้นตรงที่ลากจากมุมฉากไปตั้งฉากกับด้านตรงข้ามมุมฉาก เส้นนี้แบ่งด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นสองส่วน และมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองส่วนนี้คือความสูงของรูปสามเหลี่ยมนั้น สมบัตินี้มีชื่อว่าทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต

ในกรณีของวงรี กึ่งแกนโทคือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางที่ยาวที่สุดกับระยะทางที่สั้นที่สุดจากโฟกัสไปยังวงรี และเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม และกึ่งแกนเอกคือมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังโฟกัสจุดใดก็ตามกับระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังเส้นบังคับ (Directrix (conic section)) เส้นใดก็ตาม

หรือกล่าวได้อีกแบบว่า หากมีรูปวงกลมรัศมีเท่ากับ $r$ เลือกจุดสองจุดซึ่งอยู่ตรงข้ามกันบนรูปวงกลม แล้วกดให้เปลี่ยนรูปกลายเป็นวงรีโดยมีกึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโทเท่ากับ $a$ และ $b$ ตามลำดับ เนื่องจากพื้นที่ของวงกลมรูปเดิมกับวงรีรูปที่ได้มามีค่าเท่ากัน เรากล่าวได้ว่า

${\begin{aligned}\pi r^{2}&=\pi ab\\r^{2}&=ab\\r&={\sqrt {ab}}\end{aligned}}$

รัศมีของวงกลมเดิมคือมัชฌิมเรขาคณิตของกึ่งแกนเอกกับกึ่งแกนโทของวงรีที่ได้มาจากการเปลี่ยนรูปวงกลมรูปนั้น

ระยะทางไปยังขอบฟ้าของทรงกลมมีค่าประมาณเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่อยู่ใกล้ที่สุดกับระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ไกลที่สุด หากกำหนดให้ระยะทางไปยังจุดบนทรงกลมที่ใกล้ที่สุดมีค่าน้อย

มัชฌิมเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในการประมาณจัตุรัสพื้นที่เท่ารูปวงกลม (squaring the circle) ของศรีนิวาสะ รามานุชัน และการสร้างรูปสิบเจ็ดเหลี่ยมด้วย "mean proportional"

อัตราส่วนลักษณะ

การเปรียบเทียบพื้นที่เท่าระหว่างอัตราส่วนลักษณะต่าง ๆ ที่เคินส์ พาวเวอส์ ใช้เพื่อหามาตรฐานเอสเอ็มพีทีอี 16:9 สีแดงคือ   TV 4:3/1.33 สีส้มคือ   1.66 สีน้ำเงินคือ   16:9/1.77 สีเหลืองคือ   1.85 สีม่วงคือ   Panavision/2.2 และสีชมพูคือ   CinemaScope/2.35

มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้ในการเลือกอัตราส่วนลักษณะประนีประนอมในภาพยนตร์และภาพเคลื่อนไหว กล่าวคือหากมีอัตราส่วนลักษณะอยู่สองแบบ มัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองจะเป็นอัตราส่วนลักษณะที่ประนีประนอมระหว่างทั้งสองที่ทำให้บิดเบี้ยวหรือสูญเสียภาพไปเท่า ๆ กันในแง่หนึ่ง ในเชิงรูปธรรม รูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน (ที่จุดศูนย์กลางเดียวกันและมีด้านที่ขนานกัน) แต่มีอัตราส่วนลักษณะต่างกัน มีส่วนร่วมกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสอง และเปลือกนอกของมัน (รูปสี่เหลี่ยมขนาดเล็กที่สุดที่ครอบรูปสี่เหลี่ยมทั้งสองรูป) ก็มีอัตราส่วนลักษณะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของทั้งสองเช่นกัน

ในการหาสมดุลระหว่างอัตราส่วนลักษณะ CinemaScope 2.35 กับ 4:3 มัชฌิมเรขาคณิตเท่ากับ ${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$ เอสเอ็มพีทีอี (SMPTE) จึงเลือกอัตราส่วนลักษณะ ${\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}$ เคินส์ พาวเวอส์ (Kerns Powers) ค้นพบอัตราส่วนลักษณะนี้ผ่านวิธีการเชิงประจักษ์ เขาตัดรูปสี่เหลี่ยมออกเป็นพื้นที่เท่ากันและตัดออกให้มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับอัตราส่วนที่มีใช้อยู่แพร่หลายในขณะนั้น เมื่อนำมาซ้อนกันโดยวางจุดศูนย์กลางให้ตรงกัน เขาพบว่ารูปสี่เหลี่ยมอัตราส่วนลักษณะทั้งหมดใส่พอดีกับรูปสี่เหลี่ยมภายนอกที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 และทั้งหมดก็คลุมพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมภายในร่วมกันที่มีอัตราส่วนลักษณะเท่ากับ 1.77:1 เช่นกัน

เมื่อใช้เทคนิคหามัชฌิมเรขาคณิตแบบเดียวกันกับอัตราส่วนลักษณะ 16:9 และ 4:3 จะได้ผลลัพธ์โดยประมาณเท่ากับอัตราส่วนลักษณะ 14:9 (${\textstyle 1.55{\overline {5}}}$...) ซึ่งในแบบเดียวกัน เป็นการประนีประนอมระหว่างอัตราส่วนทั้งสอง

ขนาดกระดาษ

มัชฌิมเรขาคณิตถูกใช้คำนวณขนาดกระดาษซีรีส์ B และ C กระดาษขนาด $B_{n}$ มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษขนาด $A_{n}$ กับ $A_{n-1}$ ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของกระดาษ B1 เท่ากับ ${\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$ เพราะเป็นมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A0 ($1\mathrm {m} ^{2}$) กับของกระดาษ A1 (${\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}$)

${\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}$

ขนาดกระดาษซีรีส์ C ใช้หลักการเดียวกัน โดยมีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของขนาดกระดาษซีรีส์ A และ B ตัวอย่างเช่น กระดาษ C4 มีพื้นที่เท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของพื้นที่ของกระดาษ A4 และ B4

ข้อได้เปรียบของความสัมพันธ์แบบนี้คือกระดาษ A4 สามารถใส่ลงในซองกระดาษขนาด C4 ได้พอดี และกระดาษทั้งสองใส่ลงในซองกระดาษขนาด B4 ได้พอดี

อื่น ๆ

• ความราบเชิงสเปกตรัม (Spectral flatness) ในการประมวลผลสัญญาณคือหน่วยวัดความแบนราบหรือความแหลมของสเปกตรัม มีนิยามเป็นอัตราส่วนระหว่างมัชฌิมเรขาคณิตกับมัชฌิมเลขคณิตของสเปกตรัมกำลัง
• สารเคลือบกันแสงสะท้อน (Anti-reflective coatings) เป็นสารเคลือบที่ลดการสะท้อนระหว่างสื่อกลางสองประเภทที่มีดัชนีหักเหเท่ากับ $n_{0}$ และ $n_{2}$ โดยดัชนีหักเหที่ดีที่สุดของสารเคลือบกันแสงสะท้อน $n_{1}$ จะเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิต $n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}$
• ในการผสมสีเชิงลบ (Subtractive color mixing) เส้นโค้งความสะท้อนเชิงสเปกตรัม (spectral reflectance curve) ของส่วนผสมของสี (Color mixing) ที่มีระดับอ่อน (Tint, shade and tone) ความทึบแสง (Opacity (optics)) และความเจือจางเท่ากัน จะมีค่าโดยประมาณเท่ากับมัชฌิมเรขาคณิตของเส้นโค้งความสะท้อนของสีแต่ละสี โดยคำนวณที่แต่ละความยาวคลื่นในสเปกครัมของสีเหล่านั้น
• ตัวกรองมัชฌิมเรขาคณิต (geometric mean filter) ถูกใช้ในการประมวลผลภาพเพื่อกรองสิ่งรบกวนออกไป

ดูเพิ่ม

• การสร้างจัตุรัสพื้นที่เท่า (Quadrature (mathematics))
• การแจกแจงล็อกปรกติ (Log-normal distribution)
• ค่าเฉลี่ยกำลังสอง
• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเรขาคณิต (Geometric standard deviation)
• ทฤษฎีบทมัชฌิมเรขาคณิต
• ผลคูณ
• พิกัดเชิงไฮเพอร์โบลา (Hyperbolic coordinates)
• ภาวะความแปรปรวนต่าง (Heteroscedasticity)
• มัชฌิมเลขคณิต-เรขาคณิต
• มัชฌิมทั่วไป
• มัชฌิมฮาร์มอนิก
• มัชฌิมแบบเฮรอน (Heronian mean)
• มัชฌิมพีทาโกรัส
• มัชฌิมกึ่งเลขคณิต
• มัชฌิมเรขาคณิตถ่วงน้ำหนัก (Weighted geometric mean)
• อสมการของมิวร์เฮด (Muirhead's inequality)
• อัตราผลตอบแทน (Rate of return)

แหล่งข้อมูลอื่น

• เว็บไซต์คำนวณมัชฌิมเรขาคณิตและเลขคณิต. เก็บถาวร 2023-02-08 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• มัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-02-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• ควรใช้มัชฌิมเรขาคณิตเมื่อใด (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-02-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• การคำนวณมัชฌิมเรขาคณิตด้วยข้อมูลชนิดต่าง ๆ (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2010-11-12 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• มัชฌิมเรขาคณิตที่เว็บไซต์ MathWorld (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-03-05 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• ความหมายเชิงเรขาคณิตของมัชฌิมเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-02-05 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• เครื่องคำนวณมัชฌิมเรขาคณิตสำหรับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ (ภาษาพีเอชพี)
• การคำนวณการแบ่งสรรปันส่วนที่นั่งสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรสหรัฐโดยใช้มัชฌิมเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2022-09-26 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• เว็บไซต์แคลคูลัสแบบนอนนิวโตเนียน (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-02-13 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• นิยามและสูตรของมัชฌิมเรขาคณิต (ภาษาอังกฤษ). เก็บถาวร 2023-03-12 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Wilson, David A. L.; Martin, Barry (มีนาคม 2006). "The Distribution of the Geometric Mean". The Mathematical Gazette (ภาษาอังกฤษ). 90 (517): 40–49. JSTOR 3621411.
• Vogel, Richard M. (2020). "The geometric mean?" (PDF). Communications in Statistics - Theory and Meth (ภาษาอังกฤษ). 51 (1): 82–94. doi:10.1080/03610926.2020.1743313. ISSN 1532-415X. เก็บ (PDF)จากแหล่งเดิมเมื่อ 3 กุมภาพันธ์ 2023 – โดยทาง sites.tufts.edu.