วงรีซึ่งมาจากการตัดของทรงกรวยกับระนาบ
นิยามสองแบบของวงรีซึ่งเทียบเท่ากัน: ใช้โฟกัสสองจุด(เขียว) และใช้โฟกัสกับไดเรกทริกซ์(น้ำเงิน)
วงรี (อังกฤษ: ellipse) เป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ซึ่งล้อมรอบจุดโฟกัสสองจุดและทำให้ผลรวมของระยะทางจากจุดบนเส้นโค้งไปหาจุดโฟกัสแต่ละจุดเป็นค่าคงที่ จากนิยามนี้ วงรีถือเป็นนัยทั่วไปของวงกลม นั่นคือ วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีที่มีจุดโฟกัสซ้อนกันเป็นจุดเดียว ความยืดของวงรีแสดงด้วยค่าความเยื้องศูนย์กลาง ซึ่งสำหรับวงรีอาจมีค่าได้ตั้งแต่ 0 (กรณีพิเศษของวงกลม) และมากเข้าใกล้ 1 เท่าใดก็ได้ แต่ไม่ถึง 1 (ซึ่งจะกลายเป็นพาราโบลา) วงรียังสามารถนิยามเป็นเซตของจุด ที่สำหรับแต่ละจุดในเซต อัตราส่วนของระยะทางไปหาจุดที่กำหนด(ซึ่งจะเป็นหนึ่งในจุดโฟกัส)ต่อระยะทางไปหาเส้นที่กำหนด(เรียกว่าเส้นไดเรกทริกซ์) เป็นค่าคงที่ ซึ่งค่าคงที่นี้จะเท่ากับความเยื้องศูนย์กลางข้างต้น
วงรีเป็นภาคตัดกรวย นั่นคือ เกิดจากการตัดกันของทรงกรวยกับระนาบ (ดูภาพขวา) และยังเป็นภาคตัดของทรงกระบอก ยกเว้นเฉพาะกรณีที่ระนาบตัดขนานกับแกนทรงกระบอก
นิยาม[แก้]
วงรีมักนิยามเป็นโลกัสของจุดในระนาบสองมิติ โดยจากจุดโฟกัส
กับ
และระยะทาง
จะนิยามวงรีเป็นเซตของจุด
ทั้งหมดที่ทำให้ผลบวกของระยะทาง
กับ
เป็น
หรือเขียนเป็นสัญกรณ์ว่า
(กรณีที่
จะลดรูปเป็นเส้นตรง ดังนั้นเพื่อให้เป็นวงรีจะต้องบังคับ
)
จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดโฟกัสทั้งสอง เรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงรี เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัสทั้งสองเรียกว่าแกนเอก และเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับแกนเอกเรียกว่าแกนโท แกนเอกตัดกับวงกลมที่จุดยอด ซึ่งห่างจากจุดศูนย์กลาง
หน่วย ระยะทางจากจุดโฟกัสไปจุดศูนย์กลางเรียกว่าระยะโฟกัส
อัตราส่วน
คือความเยื้องศูนย์กลาง
สมบัติ[แก้]
ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน วงรีที่มีจุดศูนย์กลางที่
แกนเอกขนานแกน x ยาว
แกนโทขนานแกน y ยาว
เขียนสมการได้เป็น:
ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีเป็นไปตามสูตร
หากใช้ระบบสมการอิงตัวแปรเสริม จะสามารถเขียนวงรีในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น
หากแทน
จะได้สมการตัวแปรเสริมอีกรูปคือ
ในพิกัดเชิงขั้ว หากใช้จุดศูนย์กลางของวงรีเป็นจุดกำเนิด และวัดมุมเทียบกับแกนเอก จะได้เป็นสมการ
แต่หากใช่จุดโฟกัสเป็นจุดกำเนิด จะได้สมการที่ง่ายกว่า คือ
วงรีมีพื้นที่
เห็นได้จากการมองวงรีเป็นวงกลมรัศมี
ที่ถูกยืดออก
เท่า จึงได้พื้นที่เป็น
หรืออาจพิสูจน์จากการอินทิเกรต โดยจัดรูปสมการวงรี
เป็น
อินทิเกรตจาก
ถึง
จะได้พื้นที่ครึ่งบน ดังนั้นได้เป็น
ความยาวรอบรูปของวงรีไม่สามารถเขียนเป็นสูตรอย่างง่ายได้ โดยมีค่าเท่ากับอินทิกรัล
เมื่อ
เป็นปริพันธ์วงรีสมบูรณ์ชนิดที่สอง (Complete elliptic integral of the second kind)
สูตรความยาวรอบรูปสามารถเขียนในรูปอนุกรมอนันต์ได้เป็น
รามานุจันได้ให้สูตรประมาณค่าความยาวรอบรูปว่า