เมทริกซ์แบบบล็อก

เมทริกซ์แบบบล็อก (block matrix) หมายถึงเมทริกซ์ใด ๆ ที่สามารถแบ่งกลุ่มสมาชิกออกเป็นเมทริกซ์ย่อยที่เรียกว่า บล็อก (block) เมทริกซ์แบบบล็อกจะถูกแบ่งที่ตำแหน่งของสมาชิกที่สามารถเข้ากันได้จัดอยู่ในกลุ่มเดียวกัน และจะต้องแบ่งตามเส้นแนวตั้งหรือเส้นแนวนอนของแถวและหลักทั้งหมด เปรียบเสมือนการตีตารางลงในเมทริกซ์แล้วตัดแบ่งออกเป็นส่วน ๆ

ตัวอย่างเมทริกซ์แบบบล็อก เช่น กำหนดให้เมทริกซ์ P

$P={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\\\end{bmatrix}}$

จะเห็นว่ามีสมาชิกที่คล้ายกันอยู่เป็นกลุ่ม ๆ ซึ่งสามารถตัดแบ่งออกเป็นเมทริกซ์ย่อยขนาด 2×2

$P_{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\ P_{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},\ P_{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\ P_{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}$

ดังนั้น เมทริกซ์ P จึงสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งเป็น

$P_{\mathrm {partitioned} }={\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{bmatrix}}$

เมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก

เมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก (block diagonal matrix) คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีบล็อกของเมทริกซ์ย่อยพาดผ่านเส้นทแยงมุมหลัก ซึ่งบล็อกนั้นก็เป็นเมทริกซ์จัตุรัสเช่นกัน และบล็อกอื่น ๆ ที่อยู่นอกแนวเส้นทแยงมุมเป็นเมทริกซ์ศูนย์ทั้งหมด หากเขียนในรูปทั่วไปจะได้ว่า

$A={\begin{bmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{bmatrix}}$

หรืออาจเรียกได้ว่า เมทริกซ์ A คือผลบวกโดยตรง (direct sum) ของเมทริกซ์ $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ เขียนแทนได้ด้วย

$A=A_{1}\oplus A_{2}\oplus \ldots \oplus A_{n}$

หรือเขียนแทนด้วยสัญกรณ์ของเมทริกซ์ทแยงมุม

$A=\operatorname {diag} (A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n})$

สำหรับค่าของดีเทอร์มิแนนต์กับรอยเมทริกซ์ของเมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก มีคุณสมบัติ ดังนี้

$\det A=\det A_{1}\times \det A_{2}\times \ldots \times \det A_{n}$

$\operatorname {tr} \,A=\operatorname {tr} \,A_{1}+\operatorname {tr} \,A_{2}+\ldots +\operatorname {tr} \,A_{n}$