สมการอ็อยเลอร์–ลากร็องฌ์

ในวิชาแคลคูลัสของการแปรผัน สมการอ็อยเลอร์-ลากร็องฌ์ หรือ สมการลากร็องฌ์ คือ สมการปริพันธ์อันดับสองโดยมีผลเฉลยเป็นฟังก์ชัน stationary ถูกพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ชื่อเลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์และนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี่-ฝรั่งเศสชื่อโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ ในปี 1750s

เนื่องจากฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (differentiable functional) จะคงที่ ณ บริเวณที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุด สมการอ็อยเลอร์-ลากร็องฌ์จะมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะที่สุด (optimization) ซึ่งให้ค่าบางอย่าง อาจจะเป็นค่าน้อยสุดหรือมากสุดก็ได้ วิธีการนี้เป็นการอุปไมยจากทฤษฎีบทของแฟร์มาร์ตในแคลคูลัส ซึ่งระบุว่าที่จุดใด ๆ บนฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะนำไปสู่ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของบริเวณที่พิจารณา (local extremum) ของฟังก์ชัน จากการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์

ในกลศาสตร์แบบลากรองจ์ เนื่องจากหลักการของแฮมิลตันที่อนุรักษ์พลังงาน (stationary action) การวิวัฒนาการของระบบฟิสิกส์จึงถูกอธิบายด้วยผลเฉลยของสมการอ็อยเลอร์-ลากร็องฌ์สำหรับอธิบายแอคชันของระบบ ในกลศาสตร์คลาสสิก (classical mechanics) สมการอ็อยเลอร์-ลากร็องฌ์สามารถให้ผลเฉลยที่สอดคล้องกับการใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน (Newton's laws of motion) แต่ประโยชน์ คือ จะให้รูปแบบสมการสำหรับระบบในระบบพิกัดทั่วไปซึ่งจะสามารถนำมาประยุกต์ใช้กับระบบพิกัดได้อย่างหลากหลาย ในทฤษฎีสนามคลาสสิก (classical field theory) จะมีรูปแบบสมการของอ็อยเลอร์-ลากร็องฌ์ที่สามารถใช้คำนวณพลศาสตร์ของสนามได้

ดูเพิ่ม

• Lagrangian mechanics
• Hamiltonian mechanics
• Analytical mechanics
• Beltrami identity
• Functional derivative

อ้างอิง

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Lagrange equations (in mechanics)", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4