ค่าคาดหมาย

สำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็นแล้ว ค่าคาดหมาย (อังกฤษ: expected value, expectation) ของ ตัวแปรสุ่ม คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (weighted average) ของทุก ๆ ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม โดยในการคำนวณการถ่วงน้ำหนักจะใช้ค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง หรือใช้ค่าฟังก์ชันมวลของความน่าจะเป็น (probability mass function) สำหรับตัวแปรวิยุต หากกำหนดให้ $X$ เป็นตัวแปรสุ่ม จะแทนค่าคาดหมายของ $X$ ด้วย $\operatorname {E} (X)$ หรือ $\mathbb {E} (X)$ หรือบางครั้งแทนด้วย $\mu _{x}$

ค่าความคาดหมายนี้เมื่อพิจารณาจากกฎว่าด้วยจำนวนมาก ก็คือค่าลิมิตแบบ almost surely ของค่าเฉลี่ยที่ได้จากการสุ่มตัวอย่าง โดยที่จำนวนการสุ่มโตเข้าสู่ค่าอนันต์ หรือกล่าวอย่างไม่เป็นทางการว่า ค่าความคาดหมายคือค่าเฉลี่ยจากการสุ่มวัดที่ทำหลาย ๆ ครั้งมาก ๆ

นิยาม

ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าจำกัด

สมมติ ตัวแปรสุ่ม $X$ มีโอกาสมีค่าเป็น $x_{1}$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_{1}$, มีโอกาสมีค่าเป็น $x_{2}$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_{2}$, ... , มีโอกาสมีค่าเป็น $x_{k}$ ด้วยความน่าจะเป็น $p_{k}$ ดังตาราง

ตัวแปรสุ่ม	ความน่าจะเป็น
$x_{1}$	$p_{1}$
$x_{2}$	$p_{2}$
$x_{3}$	$p_{3}$
...	...
$x_{k}$	$p_{k}$

ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม $X$ จะถูกนิยามได้เป็น

$\operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\ldots +x_{k}p_{k}\;=\sum _{i=1}^{k}{p_{i}x_{i}}$

An illustration of the convergence of die roll sequence averages to the expected value of 3.5 as the number of rolls (trials) grows.

ตัวอย่างที่ 1. ให้ $X$ เป็นตัวแปรสุ่มแทนหน้าที่ออกจากการทอยลูกเต๋า ค่าที่เป็นไปได้ของ $X$ คือ 1, 2, 3, 4, 5, และ 6, โดยแต่ละค่ามีโอกาสออกได้เท่า ๆ กัน (แต่ละค่ามีความน่าจะเป็น 1/6) ค่าคาดหมายของ $X$ คือ

$\operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.$

ดังนั้นถ้าเราทอยลูกเต๋า $n$ ครั้งและคำนวณค่าเฉลี่ย ของหน้าที่ออกแล้ว ค่าเฉลี่ยนี้จะลู่เข้าสู่ค่าคาดหมายเมื่อ $n$ ใหญ่ขึ้น

ตัวแปรสุ่มวิยุต (discrete random variable), กรณีค่าไม่จำกัด

สมมติ ตัวแปรสุ่ม $X$ มีโอกาสมีค่าเป็น $x_{1}$, $x_{2}$, ... ด้วยความน่าจะเป็น $p_{1}$, $p_{2}$, ... ตามลำดับ ค่าคาดหมายของ $X$ จะนิยามได้ว่า

$\operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},$

ถ้าค่าของอนุกรมนี้ไม่เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ จะเรียกว่า ค่าคาดหมายของ $X$ ไม่ปรากฏ ตัวอย่างเช่น สมมติ ตัวแปรสุ่ม $X$ มีโอกาสมีค่าเป็น 1, −2, 3, −4, ..., ด้วยความน่าจะเป็น c/1², c/2², c/3², c/4², ..., โดย c = π²/6 (ค่าของ c นี้มีแค่เพื่อทำให้ผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดรวมเป็น 1) ค่าของอนุกรมจะเป็น

$\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=c\,{\bigg (}1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots {\bigg )}$

ซึ่งลู่เข้าและลู่เข้าสู่ค่า ln(2) ≈ 0.69315 แต่อนุกรมนี้ไม่ได้เป็นการลู่เข้าสัมบูรณ์ ดังนี้ค่าคาดหมายของ $X$ ในกรณีนี้จึงไม่มี

ตัวแปรต่อเนื่อง

เมื่อตัวแปรสุ่ม $X$ มีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น $f(x)$ ค่าคาดหมายของ $X$ สามารถคำนวณได้จาก

$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\operatorname {d} x.$

คุณสมบัติค่าคาดหมาย

$\operatorname {E} (c)=c$

$\operatorname {E} (X+c)=\operatorname {E} (X)+c$

$\operatorname {E} (X+Y)=\operatorname {E} (X)+\operatorname {E} (Y)$

$\operatorname {E} (cX)=c\operatorname {E} (X)$

เมื่อ $c$ คือค่าคงที่, $X$ และ $Y$ เป็นตัวแปรสุ่มจากการแจกแจงใด ๆ