กลวิธีการค้นหาแบบฟีโบนัชชี

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ กลวิธีการค้นแบบฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci search technique) เป็นกลวิธีการค้นโดยนำเอาจำนวนฟีโบนัชชีมาสร้างเป็นกลวิธีค้นตำแหน่งของข้อมูลในแถวลำดับ ที่ได้รับการเรียงลำดับแล้วโดยใช้หลักการของขั้นตอนวิธีการแบ่งแยกและเอาชนะ ซึ่งเป็นหลักการเดียวกับที่ใช้ในกลวิธีการค้นหาแบบทวิภาค

แต่เมื่อเปรียบเทียบกับกลวิธีการค้นแบบเลขคู่แล้วกลวิธีการค้นแบบฟีโบนัชชีจะมีการตรวจสอบตำแหน่งของข้อมูลโดยใช้การกระจายตัวที่น้อยกว่า ทำให้เกิดข้อได้เปรียบเมื่อใช้กลวิธีการค้นแบบฟีโบนัชชีกับข้อมูลที่ถูกเก็บอยู่ในแหล่งเก็บข้อมูลไม่มีรูปแบบ ซึ่งเวลาในการใช้ค้นตำแหน่งของข้อมูลที่ต้องการในแหล่งข้อมูลดังกล่าวจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งของข้อมูลที่ได้มีการเข้าถึงครั้งล่าสุด ยกตัวอย่างแหล่งข้อมูลแบบไม่มีรูปแบบอาธิเช่น แถบบันทึก ที่ซึ่งเวลาในการเข้าถึงข้อมูลใดๆในแถบแม่เหล็กจะขึ้นอยู่กับระยะทางระหว่างข้อมูลนั้นกับข้อมูลที่หัวของแถบแม่เหล็กกำลังอ่านอยู่ ทั้งนี้กลวิธีการค้นแบบฟีโบนัชชียังมีข้อได้เปรียบในการค้นข้อมูลในแคช (Cache) หรือแรม (Ram) ซึ่งเป็นแหล่งข้อมูลแบบไม่มีรูปแบบอีกด้วยเช่นกัน

ลักษณะทั่วไป

กลวิธีการค้นแบบฟีโบนัชชีใช้หลักการของขั้นตอนวิธีโดยการแบ่งแยกและเอาชนะโดยการตัดถอนข้อมูลในส่วนที่ไม่สนใจออกจนได้ตำแหน่งของข้อมูลที่ต้องการ การตัดถอนครั้งหนึ่งจะตัดถอนเป็นจำนวนในลำดับของจำนวนฟีโบนัชชี และจะลดค่าของลำดับลงเรื่อยๆทุกครั้งที่พิจารณาเสร็จ กลวิธีการค้นแบบฟีโบนัชชีจะสิ้นสุดลงก็ต่อเมื่อเจอตำแหน่งของข้อมูลที่สนใจหรือค้นแล้วไม่พบว่ามีข้อมูลที่สนใจปรากฏอยู่ในแหล่งข้อมูลเลย

ขั้นตอนวิธี

ให้ F คือแถวลำดับของจำนวนฟีโบนัชชี ให้ k คือค่าของข้อมูลใดๆในF nคือขนาดของแถวลำดับของข้อมูล ถ้า n เป็นเลขฟีโบนนัชชีให้ F_m=n แต่ถ้า n ไม่ใช่จำนวนฟีโบนัชชีให้ F_m เป็นจำนวนฟีโบนัชชีที่มากกว่า n แต่ใกล้เคียงที่สุด นิยามให้ค่าใน F เหมือนกับลำดับฟีโบนนัชชีโดยให้ F_k+2=F_k+1+F_k โดยที่ k≥0 ,F₁=1 และ F₀=0

การหาตำแหน่งของข้อมูลที่สนใจสามารถหาตำแหน่งได้โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้

1. ให้ k = m
2. ถ้า k = 0 หมายความว่าไม่พบข้อมูลที่สนใจและให้เลิกทำ
3. เปรียบเทียบข้อมูลในตำแหน่ง F_k กับตำแหน่ง F_k-1
4. ถ้าตรงกับข้อมูลที่สนใจก็ให้จบการทำงาน
5. ถ้าข้อมูลที่สนใจมีค่าน้อยกว่าข้อมูลในตำแหน่ง F_k-1 ให้ทิ้งข้อมูลตั้งแต่ตำแหน่ง F_k+1 ถึง n ให้ k = k-1 แล้วกลับไปทำขั้นตอนที่สองอีกครั้ง
6. ถ้าข้อมูลที่สนใจมีค่ามากกว่าข้อมูลในตำแหน่ง F_k-1 ให้ทิ้งข้อมูลตั้งแต่ตำแหน่ง 1 ถึง F_k-1 เรียงตัวเลขที่เหลือใหม่จาก 1 ถึง F_k-2 ให้ k = k-2 แล้วกลับไปทำขั้นตอนที่สองใหม่อีกครั้ง

นอกจากนี้ยังมีขั้นตอนวิธีอื่นๆอีกดังต่อไปนี้

ให้ R เป็นตารางที่เก็บสถิติขนาด n ช่อง ให้ ที่มีการเพิ่มขึ้นของลำดับ K โดยที่ K₁ < K₂ < ... < K_n ขั้นตอนวิธีนี้จะหาข้อมูลที่ต้องการตามค่าของ K โดยจะสมมติว่า N+1 = F_k+1ซึ่งหาก N+1ไม่ใช่จำนวนฟีโบนัชชีก็ให้ใช้หลักเกณฑ์การเปลี่ยนเป็นจำนวนฟีโบนัชชีเช่นเดียวกับขั้นตอนวิธีแรก โดยให้ X เป็นข้อมูลที่ต้องการจะหา

ขั้นที่หนึ่ง ให้ i ← F_k,p ← F_k-1,q ← F_k-2 โดยจากขั้นตอนวิธีจะได้ว่า p และ q เป็นลำดับจำนวนฟีโบนัชชีที่ต่อเนื่องกัน

ขั้นที่สอง ถ้า X < i ให้ไปทำขั้นที่สาม ถ้า X > i ให้ไปทำขั้นตอนที่สี่ แต่ถ้า X = i จะหมายถึงว่าค้นเจอตำแหน่งของข้อมูลแล้ว คำตอบคือที่ตำแหน่งk ให้จบการทำงาน

ขั้นที่สาม ถ้า q = 0 จะหมายถึงว่าค้นไม่เจอข้อมูลที่ต้องการและให้จบการทำงาน ถ้าไม่เช่นนั้นให้ i ← i - q ให้ p ← q แล้วจึงให้ q ← q - p จากนั้นกลับไปทำขั้นตอนที่สอง

ขั้นที่สี่ ถ้า p = 1 จะหมายถึงว่าค้นไม่เจอข้อมูลที่ต้องการและให้จบการทำงาน ถ้าไม่เช่นนั้นให้ i ← i + q ให้ p ← p - q แล้วจึงให้ q ← q - p จากนั้นกลับไปทำขั้นตอนที่สอง

ตัวอย่างการใช้ขั้นตอนวิธี

ให้ R เป็นแถวลำดับขนาด 13 ช่องมีข้อมูลคือ {1, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 16, 18, 20, 25, 27, 30} ต้องการหาว่า 9 อยู่ในตำแหน่งที่เท่าไหร่ในแถวลำดับ

เนื่องจาก 13เป็นจำนวนฟีโบนัชชีจึงให้ F เป็นแถวลำดับขนาดเท่ากันและให้ x = 9

1

4

5

7

9

11

13

16

18

20

25

27

30

1. กำหนดให้ i = F₁₃, p = F₈, q = F₅ (ขั้นตอนที่หนึ่ง)

1

4

5

7

9

11

13

16

18

20

25

27

30

2. เนื่องจาก x < i (ขั้นตอนที่สอง) จึงกำหนดค่าใหม่ให้ i = F₈, p = F₅ , q = F₃ (ขั้นตอนที่สาม)

1

4

5

7

9

11

13

16

18

20

25

27

30

3. เนื่องจาก x < i (ขั้นตอนที่สอง) จึงกำหนดค่าใหม่ให้ i = F₅, p = F₃ , q = F₂ (ขั้นตอนที่สาม)

1

4

5

7

9

11

13

16

18

20

25

27

30

4. เนื่องจาก x = i จึงได้ว่าค้นเจอค่า 9 ในแถวลำดับที่ช่อง K = 5 (ขั้นตอนที่สอง)

วิเคราะห์ประสิทธิภาพเชิงเวลา

จากทฤษฎีสำคัญ (อังกฤษ: Master method) จะได้ว่าประสิทธิภาพเชิงเวลาคือ

$T(n)=a\;T\!\left({\frac {n}{b}}\right)+f(n)\;\;\;\;{\mbox{where}}\;\;a\geq 1{\mbox{, }}b>1$

กลวิธีการค้นแบบฟีโบนัชชีแบ่งการเรียกซ้ำออกเป็นสองส่วนจึงได้ว่าส่วนการเรียกซ้ำคือ $T(n/2)$ และส่วนภาระจริงนั้นมีการทำงานเป็น $\Theta \left(1\right)$ เมื่อรวมกันแล้วประสิทธิภาพเชิงเวลาของกลวิธีการค้นแบบฟีโบนัชชีมีค่าเป็น

$T(n)=T(n/2)+\Theta \left(1\right)$ หรือคิดเป็น O(log(n))

หัวข้ออื่นๆที่เกี่ยวข้อง

Golden section search

Binary search algorithm

อ้างอิง

• David E. Ferguson, "Fibonaccian searching", Communications of the ACM, vol. 3 , is. 12, p. 648, Dec. 1960.
• Manolis Lourakis, "Fibonaccian search in C". [1]. Retrieved January 18, 2007. Implements Ferguson's algorithm.
• Donald E. Knuth, "The Art of Computer Programming (second edition)", vol. 3 , p. 418, Nov. 2003.
• Fibonacci Search